~ X: Das Gibbs-Phänomen

Josiah Willard Gibbs
Josiah Willard Gibbs
(1839-1903)
Quelle: Wikimedia

Eine der wesentlichen Fragen aus dem Beginn der Fourier-Analysis trat gegen Ende eines vorigen Beitrages schon einmal auf: Was haben die Fourier-Koeffizienten \(c_k(f)\) einer periodischen Funktion \(f\) mit \(f\) selbst zu tun? Die Beschäftigung mit dieser Frage hat zu Beginn des letzten Jahrhunderts viele Wissenschaftler beschäftigt und einige Gebiete der Mathematik geprägt. Für den Spezialfall der trigonometrischen Polynome \(\mathcal T_n\) ist dies klar, die Summe \(\sum_{k=-n}^n c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\), ergibt genau wieder \(f\) selbst, denn genau darüber wurden die Fourier-Koeffizienten hergeleitet. Wie sieht dies aber bei anderen periodischen Funktionen aus? Genau darum soll es in diesem Beitrag gehen und ein wenig um die Geschichte des nach Josiah Willard Gibbs (1839-1903) benannten Gibbs-Phänomens.

Die Fourier-Koeffizienten \(c_k(f)\) lassen sich für recht allgemeine periodische Funktionen \(f\) definieren. Schon die Frage, für welche Funktionen das insgesamt möglich ist führt an dieser Stelle zu weit in andere Gebiete der Mathematik. Selbst wenn sie bekannt sind, jedoch von einer periodischen Funktion stammen, die kein trigonometrisches Polynom ist, stellt sich eine wichtige Frage: Was haben die Koeffizienten \(c_k(f)\) mit der Funktion selbst zu tun? In der Theorie benötigt man dazu die Idee der Reihen, also genauer die Fourierreihe \begin{equation}\label{eq:FR} \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}kx}. \end{equation} Für jeden festen Wert (oder Punkt) \(x\in[-\pi,\pi)\) ist dies die Betrachtung eines Grenzwertes einer Folge. Diesem Grenzwert soll sich dieser Beitrag an einem Beispiel nähern, welches verdeutlicht, dass die Antwort nicht allzu einfach ist. Dies liefert auch ein erstes Problem, wieso der Zusammenhang der Fourier-Reihe von \(f\) mit \(f\) nicht so einfach ist.

Für eine Funktion \(f\) ist im Folgenden die Definition der Fourier-Partialsumme hilfreich, die gegeben ist als \[ S_nf(x) = \sum_{k=-n}^{n} c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}kx},\qquad n\in\mathbb N. \] Die Fourier-Partialsumme \(S_nf\) ist selbst eine Funktion und wie man schnell sieht ist \(S_nf \in \mathcal T_n\) ein trigonometrisches Polynom vom Grad \(n\).

Die Fourier-Partialsumme lässt sich natürlich ebenso in der Darstellung bezüglich Sinus und Kosinus angeben, worauf dieser Beitrag sich konzentriert. Dafür sei wieder \(f_{\text{Pl}}\) die Plateau-Funktion, siehe Abbildung 1 in diesem Beitrag. Die dort ausgerechneten Fourier-Koeffizienten lauten als reelle Fourier-Koeffizienten (denn die Plateau-Funktion ist insbesondere reell) \[ a_0(f_{\text{Pl}}) = 1, \qquad a_j(f_{\text{Pl}}) = \frac{2}{k\pi}\sin\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr), \qquad b_j(f_{\text{Pl}}) = 0, \qquad j\in\mathbb N. \] Die \(b_j(f_{\text{Pl}})\) kommen in der Summe nicht vor, die \(a_j(f_{\text{Pl}})\) lassen sich weiter vereinfachen, denn für gerade \(k\) ist der Sinus \(0\), für ungerade \(k\) abwechselnd \(+1\) und \(-1\). Also \[ a_0 = 1, \quad a_1 = \frac{2}{\pi}, \quad a_2 = 0, \quad a_3 = -\frac{2}{3\pi}, \quad a_4 = 0, \quad a_5 = \frac{2}{5\pi}, \quad a_6 = 0, \quad a_7 = -\frac{2}{7\pi}, \ldots \] oder insgesamt formell \[ a_j = \begin{cases} 1&\mbox{ falls } j=0\\ 0&\mbox{ falls } j \text{ gerade }\\ \frac{2\cdot(-1)^{\frac{j-1}{2}}}{j\pi} & \mbox{ falls } j \text{ ungerade.} \end{cases} \] Die Partialsummen \(S_nf_{\text{pl}}\) lassen sich noch weiter vereinfachen, schließlich ist der letzte Summand für die Partialsummen mit geradem Index eben \(0\). Für eine natürliche Zahl \(n\in\mathbb N\) lauten diese \begin{align*} g_n(x) &= \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}\cdot 2\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)\pi} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\cos(x) – \frac{2}{3\pi}\cos(3x) + \frac{2}{5\pi}\cos(5x) \pm\cdots\pm \frac{2}{(2n-1)\pi}\cos\bigl((2n-1)x\bigr) \end{align*} Diese Funktion \(g_n = S_{2n+1}f_{\text{Pl}}\) entspricht der \((2n+1)\)ten Partialsumme der Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}\).

Wie sich diese Funktionen verhalten, wenn man das \(n\) größer und größer wählt, genau das ist der Ursprung des Gibbs-Phänomens. In der folgenden Abbildung 1 ist die Plateau-Funktion dargestellt. Wählt man einen Punkt abseits der beiden Sprünge, so wird die „Welle“ um diesen Punkt herum kleiner und kleiner mit größerem \(n\), die Partialsumme nähert sich in diesem Punkt also dem Wert der Funktion \(f_{\text{Pl}}\). Der eine große Überschwinger am Plateau wird schmäler und schmäler. Dazu kann man in der Abbildung auf den rechten Eckpunkt des Plateaus hineinzoomen. Erstaunlicherweise wird er dabei jedoch lediglich beliebig schmal, bleibt in seiner Höhe aber auf einem gewissen Niveau stehen. Dieses Niveau liegt etwa \(8,95\,\%\) der Sprunghöhe, hier also bei etwa \(1.0895\). Dieser Wert wird vom Maximum der Partialsumme nicht unterschritten. Einfacher ausgedrückt gibt es immer einen Punkt \(x\), an dem der Fehler \(\lvert g_n(x)-f_{\text{Pl}}(x)\rvert\) mindestens \(0.0895\) beträgt. Analog existiert am anderen, unteren Ende des Plateaurandes ein Unterschwinger, der die gleiche Schranke besitzt. Insgesamt ist der Überschwinger also um etwa \(17,9\,\%\) um die Sprungstelle. Dieser Wert wird heute die Wilbraham-Gibbs-Konstante genannt.

Index der Funktion \(g_n\) \(n=\)0 Zoom auf den Überschwinger 1
Darstellung der Partialsummen \(g_n(x)\) der Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}\). Der Überschwinger von \(8,95\,\%\) bleibt stets, auch für Partialsummen mit großem Index \(n\), wie die Zoom-Funktion verdeutlicht.

Eine sehr ähnliche Funktion hat als erstes Henry Wilbraham (1825-1883) in dem Artikel Wil48Dieses Kürzel in eckigen Klammern „[…]“ verweist auf einen Artikel, der sich in der Literatur wieder findet. Das Kürzel ergibt sich aus dem oder den Autor bzw. Autoren und der Jahreszahl. Die Liste ist alphabetisch nach dem ersten Autor sortiert. Wer mag kann so einen Blick in die Original-Literatur werfen, allerdings liegen einige Artikel hinter einer „Paywall“, selbst welche von vor über 100 Jahren. aus dem Jahr 1848 betrachtet. Obwohl er damit viele Jahre vor Josiah Willard Gibbs (1839-1903), der im Jahre 1898 an einer ähnlichen Funktion das Phänomen beschrieb Gib98. Gibbs selbst kannte wohl die Arbeit von Wilbraham nicht. Die Namensgebung geht zurück auf Maxime Bôchner (1867-1918), der im Jahr 1906 in dem Artikel Boc06. Er betrachtete in den größten Fehler, den die Partialsummen bilden. Die Beweise dazu und eine ausführliche geschichtliche Übersicht findet sich in HH79. Die Autoren nennen in ihrem Aufsatz das Phänomen richtigerweise Gibbs-Wilbraham-Phänomen, allerdings hat sich eher der Begriff Gibbs-Phänomen in heutigen Arbeiten durchgesetzt, auch wenn er dem historischen Ablauf nicht gerecht wird.

An diesem Beispiel wird deutlich, dass die Fourier-Reihe aus Gleichung \eqref{eq:FR} zwar viel mit der eigentlichen Funktion \(f\) zu tun hat. Für trigonometrische Polynome folgt direkt aus de Herleitung der Fourier-Koeffizienten die Gleichheit der Summe mit \(f\). Für allgemeine periodische Funktionen kann jedoch ein Phänomen auftreten, dass in jedem Punkt \(x_0\in[-\pi,\pi)\) mit zunehmender Anzahl Fourier-Koeffizienten der Funktionswert der Partialsumme \(S_nf(x_0)\) sehr nah an den Funktionswert \(f(x_0)\) herankommt, es bleibt jedoch in der Nähe eines Sprungs ein Überschwingen vorhanden, so dass (vielleicht auch nur noch auf einer sehr feinen Skala bzgl. \(x\)) der Abstand in einem weiteren Punkt \(\lvert g_n(x)-f_{\text{Pl}}(x)\rvert\) größer bleibt als \(8,95\,\%\) der Sprunghöhe.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.