~ VIII: Rechnen mit Fourier-Koeffizienten I

Bei einem trigonometrischen Polynom \(f(x)\in\mathcal T_n\) lassen sich die Fourier-Koeffizienten direkt ablesen: Der Faktor vor \(\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\) ist der Fourier-Koeffizient \(c_k(f)\), für alle \(k=-n,-n+1,\ldots,n-1,n\) und direkt aus der Funktion ablesbar. Alle anderen Fourier-Koeffizienten \(c_k(f)\), für \(\lvert k\rvert > n\) sind \(0\). Zumindest lassen sie sich direkt ablesen, wenn die Funktion schon in der schon bekannten Summenform vorliegt. Sonst muss man etwa mit Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen, diese umzuformen versuchen, bis man die Koeffizienten ablesen kann. Alternativ kann man auch über die Eulersche Identität versuchen, die reelle Summendarstellung zu erhalten und dann die Koeffizienten \(a_0,a_j,b_j\), \(j\in\mathbb N\) zu erhalten. Man muss jedoch nur selten wirklich integrieren.

Für allgemeine periodische Funktionen ist dies so nicht möglich, da bleibt lediglich der Rechenweg über das Integral, mit all seinen Tücken, etwa, dass es sein kann, dass für die Funktion keine geschlossene Form der Stammfunktion gibt. Da ist es nur praktisch, wenn man aus bekannten Fourier-Koeffizienten neue berechnen kann. Darum soll es in diesem Beitrag gehen.

Für die folgenden Eigenschaften nehmen wir an, dass wir eine, ab und an auch zwei \(2\pi\)-periodische Funktionen \(f,g\) gegeben haben, bei denen wir zusätzlich wissen, dass alle Fourier-Koeffizienten \(c_k(f), c_k(g)\), d.h. \(k\in \mathbb Z\), existieren und wir diese kennen. Es gibt nämlich durchaus Funktionen, für welche die Fourier-Koeffzienten nicht existieren. Die wollen wir hier jedoch ausschließen. Von diesen beiden Funktionen — oder manchmal nur einer Funktion — ausgehend betrachtet nun jeder der folgenden Blöcke eine daraus erzeugte Funktion \(h\) und wie deren Fourier-Koeffizienten lauten. Somit wissen wir insbesondere auch, dass diese Fourier-Koeffizienten \(c_k(h)\) existieren.

Linearität

Direkt aus den Eigenschaften des Integrals folgt die Linearität der Fourier Koeffizienten. Sind die Fourier-Koeffizienten \(c_k(f), c_k(g)\) der Funktionen \(f,g\) bekannt, so auch diejenigen der Funktion \(h(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)\) für zwei beliebige relle Zahlen \(\alpha,\beta\in\mathbb R\), die als Vorfaktoren vor den Funktionen steht. In der folgenden Formel ist \(k\in\mathbb Z\) irgendeine ganze Zahl, so dass die Rechnung für jeden Fourier-Koeffizienten einzeln gilt. Mit der Definition der Fourier-Koeffizienten und den Eigenschaften des Integrals gilt \[ \begin{align*} c_k(\alpha f+\beta g) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} (\alpha f(x) + \beta g(x)) \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \alpha f(x) \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \beta g(x) \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x \\ &= \alpha \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x + \beta \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x) \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x. \end{align*} \] An dieser Stelle erkennt man direkt an den Integralen genau diejenigen, welche in der Definition der Fourier-Koeffizeinten vorkommen, so dass sich kurz ergibg \[ c_k(\alpha f+\beta g) = \alpha c_k(f) + \beta c_k(g),\quad k\in\mathbb Z \]

Translation

Translation also die Verschiebung einer Funktion spiegelt sich ebenso direkt in den Fourier-Koeffizienten wieder. Für eine Funktion \(f(x)\) ist die Translation, die bereits im zweiten Beitrag ausführlich vorkam, gegeben durch \(f(x-y)\), wobei \(y\) ein fester Wert ist. Die dortige Notation \(T_yf(x) = f(x-y) \) ist nun nützlich, denn in der Notation \(c_k(f)\) tritt der Parameter \(x\) der Funktion nicht auf, die Verschiebung ließe sich also nur schlecht hinschreiben. Mit dem Translationsoperator \(T_y\) wird dies einfach möglich, er drückt nichts anderes aus, als anzuzeigen, dass die Funktion um \(y\) verschoben worden ist. Im Folgenden ist wieder ein ganzzahliges \(k\in\mathbb Z\) fest gewählt und ebenso eine Verschiebung \(y\in[-\pi,\pi)\). Es gilt \[ c_k(T_yf) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-y)\text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x{.} \] An dieser Stelle ist ein Trick notwendig, den Mathematiker zu gern verwenden: eine Null addieren oder anders gesagt etwas komplizierter Schreiben, als es eigentlich ist. Hier verkompliziert man \(x = x-y+y\) und es folgt mit den Potenzgesetzen \[ c_k(T_yf) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-y)\text{e}^{-\text{i}k(x-y+y)} \text{d}x = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \text{e}^{-\text{i}k(y)}\cdot f(x-y)\text{e}^{-\text{i}k(x-y)} \text{d}x{.} \] Der erste Term hängt nicht von \(x\) ab und kann somit aus dem Integral ausgeklammert werden. Für das Integral lässt sich eine einfache Substitution anwenden, \(z = x-y\). Dafür müssen außerdem die Integrationsgrenzen angepasst werden, die dann \(-\pi-y\) und \(\pi-y\) lauten. Allerdings ist es bei einer periodischen Funktion egal, über welche ganze Periode der Länge \(2\pi\) integriert wird, so dass die Grenzen bleiben können, wie sie sind. Insgesamt ist also \[ c_k(T_yf) = \text{e}^{-\text{i}k(y)} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(z)\text{e}^{-\text{i}kz} \text{d}z = \text{e}^{-\text{i}ky} c_k(f) \] Die Verschiebung einer Funktion um \(y\) führt also einen meist komplexwertigen Vorfaktor \(\text{e}^{-\text{i}ky}\) in den Fourier-Koeffizienten ein.

Zeitumkehr
Für die Umkehrung in der Zeit, also die Funktion \(g(x) = f(-x)\) ist wieder die Substitution der Trick zur Lösung. Mit \(z=-x\) und der Idee, dass die Integration über eine Periode unabhängig davon ist, welches Stück gewählt wird, gilt \[ c_k(g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(-x)\text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(z)\text{e}^{\text{i}kz} \text{d}x = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(z)\text{e}^{-\text{i}(-k)z} \text{d}x = c_{-k}(f), \] wobei die vorletzte Gleichheit daraus resultiert, dass im Exponenten zwei Minuszeichen hinzukamen. Zeitumkehr invertiert den Index der Fourier-Koeffizienten.

Konjugation

Konjugation ist der Vorzeichenwechsel im Imaginärteil einer komplexen Zahl. Für \(z = a+b\text{i} \in \mathbb C\) ist die komplex Konjugierte die Zahl \(a-b\text{i}\), die üblicherweise mit \(\bar z\) bezeichnet wird. Ein besonderer Fall, der in der Rechnung gleich benötigt wird, ist der Folgende. In der vorletzten Gleichung werden angewandt, dass der Kosinus eine gerade, der Sinus eine ungerade Funktion ist. Es gilt \[ \overline{ \textrm{e}^{-\textrm{i}kx} } = \overline{\cos(kx) + \textrm{i}\sin(kx)} = \cos(kx) – \textrm{i}\sin(kx) = \cos(-kx) + \textrm{i}\sin(-kx) = \textrm{e}^{\textrm{i}kx}. \]

So lässt sich auch eine ganze Funktion konjugieren, etwa \(g(x) = \overline{f(x)}\), es wird also für jeden Wert \(x\) dessen Funktionswert konjugiert.

Mit den existierenden Fourier-Koeffizienten von \(f\) gilt dann \[ c_k(g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \overline{f(x)}\text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \overline{f(x)\text{e}^{\text{i}kx}} \text{d}x{.} \] Dies ist nichts anderes als das konjugiert Komplexe des Fourier-Koeffizienten zu \(-k\) von \(f\), wobei das \(-\) beim \(k\) genau wie im vorigen Fall entsteht. Insgesamt also \[ c_k(g) = \overline{c_{-k}(f)}. \]

Modulation

Eine weiterer einfacher Zusammenhang ergibt sich bei der Verschiebung im Frequenzbereich. Die Idee ist die Folgende: Aus der eigentlichen Funktion \(f(x)\) entsteht eine Modulation oder Verschiebung im Frequenzbereich durch Multiplikation: \(g(x) = \textrm{e}^{\textrm{i}nx}f(x)\) für eine natürliche Zahl \(n\). In der Anwendung findet man dies etwa beim Radio. Dort wird das Audio-Signal auf eine Kurzwelle moduliert, genau dies bewirkt die Multiplikation in der Funktion \(g\). Der Empfänger entmoduliert im Prinzip das Signal wieder um die Sendung dann abzuspielen. In den Fourier-Koeffizienten ist dies ein netter Zusammenhang, der sich schneller berechnen lässt. Wieder ist mit den Rechengesetzen für Potenzen \[ c_k(g) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\text{e}^{-\text{i}kx + \text{i}nx} \text{d}x =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\text{e}^{-\text{i}(k-n)x} \text{d}x = c_{k-n}(f). \] Wie bei der Translation, wo eine Verschiebung um \(-y\) einen Vorfaktor \(\textrm{e}^{\textrm{i}ky}\) mit positivem Exponenten erzeugt, passiert dies hier analog: Eine Modulation auf die Frequenz \(n\) verschiebt die Fourier-Koeffizienten um \(-n\).

Es gibt noch zwei weitere in der Praxis sehr wichtige Eigenschaften. Sie sollen in einem nächsten Beitrag behandelt werden, denn deren Herleitungen sind ein klein wenig aufwändiger. Dafür sind die dazugehörigen Ideen und Interpretationen sehr bildlich.

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