~ VII: Die Fourier-Koeffizienten II

Die im letzten Im letzten Beitrag hergeleitete Formel zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten lassen sich nach den anfänglichen Überlegungen für jedes trigonometrische Polynom anwenden. Dazu muss insbesondere für \(f\in\mathcal T_n\) auch der Wert für \(n\) bekannt sein. Nur dann können wir mit den Schritten aus dem letzten Beitrag darauf kommen, dass für ein \(k\in\{-n,\ldots,-1,0,1,\ldots,n\}\) gilt \[ \begin{align}\label{eq:fourier} c_k(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\textrm{e}^{-\textrm{i}kx}\ \textrm{d}x\text{.} \end{align} \] Dabei lässt sich \(k\) analog zum Index \(j\) als Frequenz verstehen, die dann auch negative Werte annehmen kann. In den Betrachtungen trat jedoch auch auf, dass das Produkt zweier Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Frequenzen sich im Integral zu \(0\) ergibt, also \( \int_{-\pi}^\pi \textrm{e}^{\textrm{i}(k-h)x} \ \textrm{d}x = 0\) für \(k\neq h\). Zusammen mit der Linearität des Integrals, dass sich also Summen „auseinanderziehen“ lassen, ergibt dies: Berechnet man — nur mal so aus Interesse — ein \(c_k(f)\), bei dem entweder \(k>n\) ist oder \(k<-n\), so ist dieses für unser Polynom \(0\). Die trigonometrischen Polynome werden schon durch die Frequenzen aus der ersten Gleichung vollständig beschrieben, andere kommen in der Summe von \(f(x) = \sum_{k=-n}^n c_k\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\) ja auch nicht vor. Die obige Formel gilt also für alle ganzen Zahlen \(k\).

Für eine Funktion \(f\), die \(2\pi\)-periodisch, aber kein Polynom ist, könnte man zunächst auch die Formel \eqref{eq:fourier} genau so hinschreiben. Ein Beispiel einer solchen Funktion ist die Hut-Funktion \(f_{\text{Hut}}(x) = 1-\frac{\lvert x \rvert}{\pi}\), wobei \(\lvert x\rvert\) den Betrag von \(x\) bezeichnet. Eine Weitere ist die Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}(x) = \begin{cases} 0&\mbox{ für } \lvert x \rvert > \frac{\pi}{2},\\1&\mbox{ für } \lvert x \rvert \leq \frac{\pi}{2}.\end{cases}\) Für beide Funktionen ist \(x\in[-\pi,\pi)\), so dass die Funktionen beide periodisch sind. An sich wären sie nicht periodisch, sie werden aber mit dieser Beschränkung auf einem Intervall definiert und können so periodisch fortgesetzt werden. Sie sind beide in der folgenden Abbildung dargestellt.

(a) Die Funktion \(f_{\text{Pl}}\)
(b) Die Funktion \(f_{\text{Hut}}\)
Darstellung der beiden Beispielfunktionen, der Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}\) (links) und der Hut-Funktion \(f_{\text{Hut}}\) (rechts). Bei der Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}\) sind die beiden senkrechten Linien Sprünge, an denen die Funktion von beliebig nah vor \(\frac{\pi}{2}\!\) noch den Wert \(1\) besitzt, in und ab dem Punkt \(\frac{\pi}{2}\) allerdings \(0\) ist.

Wieso können diese Funktionen keine trigonometrischen Polynome sein? Die Funktionen Sinus und Kosinus sind stetig und differenzierbar. Stetigkeit bedeutet, dass man den gleichen Wert erreicht, wenn man sich auf der Kurve der Funktion von links einem Punkt näher, wie wenn man sich von rechts nähert; sie ist für jeden Punkt einzeln gegeben (oder eben nicht gegeben). Die Differenzierbarkeit ist ebenso eine punktweise eigenschaft und heisst, dass man für jeden Punkt eine eindeutige Tangente an den Funktionsgraphen bestimmen kann. Diese beiden Eigenschaften bleiben durch das Stauchen natürlich erhalten. Addiert man mehrere stetige, differenzierbare Funktionen, so bleiben beide Eigenschaften erhalten. Beides, die Stetigkeit und die Differentiation sind, wie die Integration, Eigenschaften, die linear sind. Daher ist jedes trigonometrische Polynom stetig und besitzt in jedem Punkt \((x,f(x))\) eine eindeutige Tangente.

Für die Plateau-Funktion sieht man direkt, dass diese nicht stetig ist, an den „Kanten“ wechselt der Wert sprunghaft von \(0\) auf \(1\) bzw. von \(1\) auf \(0\). Nähert man sich einer der beiden Sprungstellen von der einen Seite, ergibt sich ein anderer Wert, als von der anderen Seite. Die Hut-Funktion hat im Punkt \(x=0\) keine Ableitung, es gibt also keine eindeutige Tangente. Dies sieht man bildlich daran, dass sich die Steigung der Tangente sprunghaft ändert.

Trotzdem kann man die beiden Funktionen in die Definition der Fourier-Koeffizienten einsetzen und das Integral ausrechnen. Für die Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}\) sind diese einfach(er) zu berechnen. Der Koeffizient \(c_0(f_{\text{Pl}})\), das Integral der Funktion entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks unter dem Plateau und somit ist \(c_0(f_{\text{Pl}}) = \frac{1}{2}\). Für \(k\neq 0\) ist die Funktion außerhalb des Intervalls \(\bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigr]\) Null und in diesem Intervall Eins, so dass das Integral sich ergibt zu einem Term, für den bereits im letzten Beitrag eine Stammfunktion angegeben worden ist, nur mit anderen Integrationsgrenzen: Es gilt also für \(k\neq 0\) \[ c_k(f_{\text{Pl}}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1\cdot \text{e}^{-\text{i}kx}\ \text{d}x = -\frac{1}{2\textrm{i}k\pi}\textrm{e}^{-\textrm{i}kx}\Biggl|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2\textrm{i}k\pi}\bigl(\textrm{e}^{-\textrm{i}k\frac{\pi}{2}} – \textrm{e}^{\textrm{i}k\frac{\pi}{2}}\bigr) = \frac{1}{\pi k}\sin\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr), \] wobei die letzte Gleichung wieder aus der Eulerschen Gleichung stammt.

Die Funktion \(\operatorname{sinc}(x) := \frac{\sin(x\pi)}{x\pi}\), \(x\neq 0\), heißt Sinus Cardinalis oder Sinc-Sunktion, sie ist im Punkt \(0\) über einen Grenzwert berechenbar und es gilt \(\operatorname{sinc}(0) = 1\). Mit dieser Funktion lauten die Fourier-Koeffizienten der Plateau-Funktion \(c_k(f_{\text{Pl}}) = \frac{1}{2}\operatorname{sinc}(\frac{k}{2})\).

Für die Hut-Funktion \(f_{\text{Hut}}\) ist \(c_0(f_{\text{Hut}}) = \frac{1}{2}\), für \(k\neq 0\) ist eine partielle Integration durchzuführen, doch zunächst trennt man wieder das Integral, um den Betrag zu eliminieren: \[ c_k(f_{\text{Hut}}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \bigl(1-\frac{\lvert x\rvert}{\pi}\bigr)\text{e}^{-\text{i}kx}\ \text{d}x = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0} \bigl(1+\frac{x}{\pi}\bigr)\text{e}^{-\text{i}kx}\ \text{d}x + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(1-\frac{x}{\pi}\bigr)\text{e}^{-\text{i}kx}\ \text{d}x \] Für das erste Integral gilt mit \(f(x) = 1+\frac{x}{\pi}\) und \(g'(x) = \textrm{e}^{-\textrm{i}kx}\) in der partiellen Integration \[ \begin{align*} -\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0 \bigl(1+\frac{x}{\pi}\bigr)\textrm{e}^{-\textrm{i}kx}\ \textrm{d}x &= -\frac{1}{2\pi}\bigl(1+\frac{x}{\pi}\bigr)\frac{1}{\textrm{i}k}\textrm{e}^{-\textrm{i}kx}\Biggl|_{-\pi}^0 + \frac{1}{2\pi^2\textrm{i}k}\int_{-\pi}^0 \textrm{e}^{-\textrm{i}kx}\ \textrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2\pi\textrm{i}k} + \frac{1}{2\pi^2 k^2} – \frac{1}{2\pi^2 k^2}\textrm{e}^{\textrm{i}k\pi} \end{align*} \] Und analog für das zweite Integral \[ \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} \bigl(1-\frac{x}{\pi}\bigr)\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\ \textrm{d}x = \frac{1}{2\pi\textrm{i}k} + \frac{1}{2\pi^2k^2} – \frac{1}{2\pi^2 k^2}\textrm{e}^{-\textrm{i}k\pi} \] und somit ergibt sich der Fourier Koeffizient als deren Summe \[ c_k(f_{\text{Hut}}) = -\frac{2}{2\pi^2k^2} – \frac{1}{2\pi^2 k^2}\textrm{e}^{-\textrm{i}k\pi} – \frac{1}{2\pi^2 k^2}\textrm{e}^{\textrm{i}k\pi} = \frac{1}{2\pi^2k^2}\bigl(2 -\textrm{e}^{-\textrm{i}k\pi} – \textrm{e}^{\textrm{i}k\pi}\bigr) \] An dieser Stelle benötigt man ein paar Tricks aus den Rechenregeln für den Sinus und Kosinus. Zunächst sind die beiden letzten Terme nach der Eulerschen Gleichung identisch zu \(2\cos(k\pi)\). Außerdem gilt mit \(\cos(k\pi) = \cos\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)^2 -\sin\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)^2\) und \(\cos(x)^2+\sin(x)^2=1\), dass \[ c_k(f_{\text{Hut}}) = \frac{1}{\pi^2k^2}(1-\cos(k\pi)) = \frac{1}{\pi^2k^2}\Bigl(1-\cos\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)^2 +\sin\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)^2\Bigr) = \frac{2}{\pi^2k^2}\sin\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)^2 \]

Man sieht deutlich, dass bereits für zwei so einfache Funktionen die Rechnung ein paar Schritte und ein wenig Wissen über trigonometrische Funktionen. Das Ergebnis wird für die Hutfunktion noch etwas schöner, nimmt man wieder den Sinus Cardinalis \(\operatorname{sinc}\) zur Hilfe. Dann lauten die Koeffizienten \(c_k(f_{\text{Hut}}) = \frac{1}{2}\operatorname{sinc}\bigl(\frac{k}{2}\bigr)^2\). Die Hut-Funktion ist jedoch in ihren Fourier-Koeffizienten bis auf einen weiteren Faktor \(2\) das Quadrat der Fourier-Koeffizienten der Plateau-Funktion, kurz \(c_k(f_{\text{Hut}}) = \frac{1}{2}\operatorname{sinc}\bigl(\frac{k}{2}\bigr)^2 = 2\bigl(\frac{1}{2}\operatorname{sinc}\bigl(\frac{k}{2}\bigr)\bigr)^2 = 2c_k(f_{\text{Pl}})^2 \). Beide Folgen der Fourier-Koeffizienten sind in den nächsten beiden Abbildung dargestellt.

Skalierung der \(y\)-Achse: 1.00 Fouier-Koffizienten: -15 bis 15 Zentraler Koeffizient k=0
Ein Ausschnitt der Fourier-Koeffizienten der Plateau-Funktion \(f_{\text{Pl}}\). Die Koeffizienten entstehen durch Abtasten der gestauchten Sinus Cardinalis-Funktion, die ebenso gezeigt ist.

Skalierung der \(y\)-Achse: 1.00 Fouier-Koffizienten: -15 bis 15 Zentraler Koeffizient k=0
Ein Ausschnitt der Fourier-Koeffizienten der Hut-Funktion \(f_{\text{Hut}}\). Die Koeffizienten entstehen durch Abtasten der Quadrates des gestauchten Sinus Cardinalis.

Alle Fourier-Koeffizienten lassen sich jedoch gar nicht darstellen. Selbst für ein beliebig großes \(k\) sind sowohl \(c_k(f_{\text{Pl}})\) als auch \(c_k(f_{\text{Hut}})\) nicht \(0\). Anstelle der Summe von \(-n\) bis \(n\) benötigt man hier also eine Summe, die unendlich viele Summanden umfasst. Wie berechnet man sowas und ergibt das überhaupt einen Wert? Es stellt sich jedoch zusätzlich noch die Frage: Was haben diese Koeffizienten mit der Funktion zu tun? Bei einem trigonometrischen Polynomen ist es möglich, die Funktion mit den Koeffizienten zu zerlegen und wieder zusammenzusetzen. Geht das hier auch? Kommt also für die Summation \[ \sum_{k=-n}^{n}c_k(f_{\text{Hut}})\text{e}^{\text{i}kx} \] wieder \(f_{\text{Hut}}\) heraus, wenn man das \(n\) größer und größer wählt? Das führt weit in die Integrations- und Approximationstheorie, unter anderem sogar zu einer Veränderung der Integration und einem Verständnis der Frage, was es bedeutet, dass bzw. wie sich so eine Summe von Funktionen einer Funktion „nähert“. Dies wird ein späterer Beitrag behandeln. Zunächst ist also nicht wirklich klar, was bei so einer allgemeinen Funktion die Fourier-Koeffizienten bedeuten, also in wiefern sie mit der eigentlichen Funkion zusammenhängen.

Definieren können wir die Fourier-Koeffizienten also durchaus für Funktionen \(f\), wie die Hut-Funktion und die Plateau-Funktion. Es bleibt allerdings die spannende Frage, für welche Funktionen sich diese Fourier-Koeffizienten angeben lassen. Es könnte ja sein, dass eines der Integrale keinen Wert hat, es sich also um ein uneigentliches Integral handelt, dass keinen (endlichen) Grenzwert besitzt.

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