~ VI: Die Fourier-Koeffizienten I

Bisher dienten die Funktionen \(\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\) als Baukasten, um mit gegebenen – eventuell komplexen – Koeffizienten \(c_{-n},\ldots,c_{-1},c_0,c_1,\ldots,c_n\) eine Funktion \( f(x)\in\mathcal T_n\) zu erzeugen. Dies nennt sich auch (Fourier-)Synthese. Heute soll es um die entgegengesetzte Richtung gehen; das Ganze nähert sich der Behauptung von Joseph Fourier, der 1807 behauptete, jede periodische Funktion lasse sich in Sinus- und Kosinus-Wellen zerlegen. Im Allgemeinen ist dies aber gar nicht so einfach. Für ein „sicheres Umfeld“ einfacher Funktionen, eben genau den trigonometrischen Funktionen \(f\in\mathcal T_n\), lässt sich die Fourier-Analyse jedoch gut betrachten und sich eine Formel herleiten, mit der sich die Fourier Koeffizienten \(c_k(f), k\in\{-n,\ldots,n\}\) berechnen lassen.

Bekannt ist bereits, dass sich eine Funktion \(f\in\mathcal T_n\) schreiben lässt alsHinter der Formel steht eine Nummer in runden Klammern. Diese gibt der Formel einen Namen, mit dem kurz darauf verwiesen werden kann. Der Verweis ist wieder diese Nummer in runden Klammern, hier also \eqref{eq:fsum}. So erspart man sich das mühsame beschreiben, welche der (vom Text abgesetzten) Formeln man aus dem Text heraus denn nun meint. \[ \begin{equation}\label{eq:fsum} f(x) = \sum_{k=-n}^{n} c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}kx}, \end{equation} \] wobei für diesen Beitrag die Fourier Koeffizienten \(c_k\), die hier zur Funktion \(f\) gehören und daher mit \(c_k(f)\) bezeichnet werden, nicht bekannt sind. Lediglich das trigonometrische Polynom \(f\) ist gegeben. Ziel ist also, ausgehend von der Funktion \(f\), die analytisch gegeben ist, die Koeffizienten zu berechnen. Ein Beispiel ist etwa, wenn die Funktion ein Produkt vieler Sinus- und Kosinus-Funktionen ist, so dass sie zwar \(2\pi\)-periodisch ist, die Koeffizienten jedoch nicht der Funktion „anzusehen“ sind. Neben der Funktion \(f\) ist natürlich noch das \(n\) der Menge \(\mathcal T_n\) bekannt, also von wo bis wo die obige Summe von \(f\) läuft.

Zur Berechnung der Koeffizienten könnte man nun jeden Koeffizienten einzeln durchgehen. Die Berechnungen basieren jedoch auf einem gemeinsamen Schema, so dass sie sich auch allgemein aufschreiben lassen. Sei \(h\in\{-n,\ldots,n\}\) derjenige Index, der aktuell berechnet werden soll. Dann lässt sich nacheinander für \(h\) jeder Wert einsetzen und die Koeffizienten \(c_h(f)\) können mit dem Folgenden für jedes \(h\) berechnet werden. Die Gleichung \eqref{eq:fsum} lässt sich umstellen, indem von beiden Seiten alle Terme subtrahiert werden, bis auf der Term \(c_h(f)\text{e}^{\text{i}hx}\). Dieser Term bleibt dann allein auf der rechten Seite stehen, es gilt \[ \begin{align*} c_h(f)\textrm{e}^{\textrm{i}hx} &= f(x) – c_{-n}\textrm{e}^{-\textrm{i}nx}(f) – c_{-n+1}(f)\textrm{e}^{-\textrm{i}(n-1)x} – \ldots – c_0\textrm{e}^{0} – \ldots – c_{n-1}(f)\textrm{e}^{\textrm{i}(n-1)x} – c_n(f)\textrm{e}^{\textrm{i}nx}\\ &= f(x) – \sum_{\substack{k\in\{-n,\ldots,n\}\\k\neq h}} c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\text{.} \end{align*} \] Die Summe in der zweiten Zeile läuft also über alle Indizes von \(-n\) bis \(n\) außer dem Wert \(k=h\). Für \(x\in\mathbb R\) ist \(\textrm{e}^{\textrm{i}hx}\neq 0\). Es ist also möglich, durch diesen Termzu teilen, unabhängig von den Werten, die \(x\) und \(h\) gerade einnehmen. Zusammen mit den Potenzgesetzen ergibt dies \[ \begin{align*} c_h(h) &= \frac{f(x)}{\textrm{e}^{\textrm{i}hx}} – \sum_{\substack{k\,\in\,\{-n,\ldots,n\}\\k\neq h}} \frac{c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}kx}}{\textrm{e}^{\textrm{i}hx}}\\ &= f(x)\textrm{e}^{-\textrm{i}hx} – \sum_{\substack{k\,\in\,\{-n,\ldots,n\}\\k\neq h}} c_k(f)\textrm{e}^{\textrm{i}(k-h)x}\\ \text{.} \end{align*} \]

Das bringt zunächst nicht allzu viel, denn um nun allein \(c_h(f)\) zu berechnen, benötigt man alle anderen Koeffizienten \(c_k(f), k\neq h\) der Funktion \(f\) und \(f\) selbst. Wenn wir jedoch beide Seiten nach \(x\) integrieren, so ist zunächst der Term auf der linken Seite, \(c_h(f)\), konstant bezüglich \(x\). Das Integral über eine Periode wird also \[ \int_{-\pi}^\pi c_h(f)\ \textrm{d}x = 2\pi c_h(f)\text{,} \] denn die Länge des Intervalls, über das die Integration gebildet wird, ist gerade \(2\pi\), nämlich die Länge einer Periode. Auf der rechten Seite nutzen wir die Linearität der Integration: Das Integral einer Summe von Termen lässt sich berechnen, indem man jeden einzelnen Term integriert und dann die Ergebnisse zusammenzählt. Nach der Aufteilung steht also anstelle eines jeden Terms in der Summe ein einzelnes Integral. In jedem dieser Integrale kann auch wieder ein Term aus dem Integral gezogen werden, der bezüglich \(x\) konstant ist. Auch dies ermöglich die Linearität der Integration. Die Gleichung \eqref{eq:fsum} wurde also bisher umgeformt zu \[ \begin{equation}\label{eq:chpre} 2\pi c_h(f) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\textrm{e}^{-\textrm{i}hx}\ \textrm{d}x – \sum_{\substack{k\,\in\,\{-n,\ldots,n\}\\k\neq h}} c_k(f) \int_{-\pi}^\pi \textrm{e}^{\textrm{i}(k-h)x} \ \textrm{d}x\text{.} \end{equation} \]

Für eine Funktion \(g(x) = \textrm{e}^{\textrm{i}(k-h)x}\) ist wegen \(k\neq h\) eine Stammfunktion gegeben durch \(G(x)=\frac{1}{\textrm{i}(k-h)}\textrm{e}^{\textrm{i}(k-h)x}\), so dass der Wert des Integrals \[ \int_{-\pi}^\pi \textrm{e}^{\textrm{i}(k-h)x} \ \textrm{d}x = G(\pi) – G(-\pi) = \frac{1}{\textrm{i}(k-h)}\bigl(\textrm{e}^{\textrm{i}(h-k)\pi} – \textrm{e}^{-\textrm{i}(h-k)\pi}\bigr) = \frac{1}{\textrm{i}(k-h)}\Bigl( \bigl(\textrm{e}^{\textrm{i}\pi}\bigr)^{h-k} – \bigl(\textrm{e}^{\textrm{i}\pi}\bigr)^{k-h}\Bigr) \] ist. Hier lässt sich die Eulersche Gleichung \(\textrm{e}^{\textrm{i}\pi} = -1 \) nutzen und, dass \(1^a\) für eine ganze, von Null verschiedene Zahl \(1\) ist. In der letzten Klammer steht also wegen \(h\neq k\) die Differenz \((-1)^{h-k} – (-1)^{-h-k}\). Ist \(h-k\) gerade, so steht dort also \(1-1=0\), ist \(h-k\) ungerade, so ist ebenso \((-1)-(-1) = 0\). Für alle Terme in der hinteren Summe der Gleichung \eqref{eq:chpre} ist das jeweilige Integral also \(0\) und lediglich der erste, vor der Summe stehenden Term verbleibt. Dividiert man davon nun beider Seiten durch \(2\pi\) ergibt eine der wichtigsten Formeln der Fourier-Analysis, nämlich:

Gegeben sein eine Funktion \(f\in\mathcal T_n\). Für ein \(h\in \{-n,\ldots,n\}\) gilt \[ c_h(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\textrm{e}^{-\textrm{i}hx}\ \textrm{d}x\text{.} \] Insbesondere für \(h=0\) ist das Integral dasjenige von \(f\) allein, denn \(e^{-\text{i}0\cdot x} = 1\), also ist ein Spezialfall \[ c_0(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\ \textrm{d}x\text{.} \] In anderen Worten: Der Fourier-Koeffizient \(c_0\) ist der Mittelwert der Funktion \(f\).

Mit Hilfe einiger Additionstheoreme lässt sich eine analoge Formel auch für die Koeffizienten \(a_j,b_j\) hinschreiben, sie entstehen allerdings ebenso, wenn man die Formeln aus dem letzten Teil umstellt. Es gilt \[ \begin{align*} a_0(f) &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\ \textrm{d}x\\ a_j(f) &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(jx)\ \textrm{d}x\\ b_j(f) &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(jx)\ \textrm{d}x\text{,} \end{align*} \] wobei man diese Formeln für \(f\in \mathcal T’_n\) auf gleichem Wege erhält, wie die komplexen Koeffizienten \(c_k(f)\), nur dass anstelle der Eigenschaften der Exponentialfunktion Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus genutzt werden müssen. Neben der rechentechnisch schöneren Herleitung wird hier ein zweiter Vorteil der komplexen Fourier-Koeffizienten \(c_k(f)\) deutlich, nämlich, dass lediglich eine Formel notwendig ist anstelle dieser drei.

Die reellen Fourier-Koeffizienten sind hingegen etwas anschaulicher: Das Integral „misst“ die Ähnlichkeit der Funktion \(f\) zu den (gestauchten) Kosnius und Sinus-Funktionen. Dazu zwei Beispiele:

1. Für die Konstante Funktion \(f(x) = 3, x\in[0,2\pi)\), die also auf dem gesamten Intervall konstant ist, ist das Integral für den ersten Term \(a_0(f)=6\), denn das Integral ergibt analog zur Rechnung für \(c_0\) eben gerade \(6\pi\) was durch den Vorfaktor \(\frac{1}{\pi}\) eben zu \(6\) wird. Für den Term zum \(a_1\), also den Kosinus \(\cos(x)\), lässt sich der Faktor \(3\) aus dem Integral herausziehen und es verbleibt \[ a_1(f) = \frac{3}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\ \text{d}x \] Das Integral des Kosinus (und analog des Sinus) über eine gesamte Periode ist jedoch \(0\), genauso wie für alle \(\cos(jx)\) (und \(\sin(jx\)) für natürliche Zahlen \(j\); bildlich sieht man dies daran, dass bei dem Kosinus (über eine Periode) die Fläche über der \(x\)-Achse genau so groß ist wie diejenige unter der Achse. Dass diese Koeffizienten in diesem Beispiel \(0\) sind ist aber auch nicht erstaunlich, denn die Konstante Funktion wird durch den konstanten Anteil \(a_0\) der Fourier-Summe schon vollständig beschrieben.

2. Für \(f(x)=\cos(x)\) tritt dieses Phänomen des vorigen Beispiels für alle Integrale außer \(a_1(f)\) auf. Dort ergibt sich der Term im Integral zu \(\cos^2(x)\), eine Funktion, die überall nicht negativ ist, also positiv oder 0\). Man sieht aber der Funktion \(f\) hier schon an, dass sie durch \(a_1=1\) schon vollständig beschrieben wird, also alle anderen Koeffizienten \(0\) sind.

Allgemein misst ein Koeffizient \(a_j(f)\) wie ähnlich eine Funktion \(f\) dem \(\cos(jx)\) ist, analog misst \(b_j(f)\) wie „ähnlich“ \(f\) dem \(\sin(jx)\) ist, oder etwas genauer; sie messen den Anteil, den ein Kosinus bzw. Sinus mit Frequenz \(j\) an der Funktion \(f\) hat. Dadurch baut die Summe vom Beginn dieses Beitrags dann die in der Analyse zerlegte Funktion aus der Menge der trigonometrischen Polynome wieder exakt zusammen.

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