~ V: Trigonometrische Polynome II

Die Darstellung aus Teil III gibt eine nette bildliche Vorstellung: Aus (um ganzzahlige Werte) gestauchte Versionen von Sinus und Kosinus, die über die \(a_j\) und \(b_j\) gewichtet werden, bauen sich die trigonometrischen Polynome auf. Mit den Gewichten oder Koeffizienten lassen sich auch verschobene Sinus- und Kosinuswellen bilden. Bisher haben die trigonometrischen Polynome aber wenig mit Polynomen gemein; zumindest sehen sie nicht danach aus. Polynome haben die Form \[ p(x) = d_nx^n + d_{n-1}x^{n-1} + \ldots + d_1x + d_0\text{,} \] wobei die Koeffizienten \(d_j\), \(j=0,1,\ldots n,\), reelle Zahlen sind. Die Geraden und Parabeln sind spezielle Polynome, bei denen man lediglich die ersten zwei bzw. drei Koeffizienten von null verschieden sind.

Der Zusammenhang der trigonometrischen Polynome zu den Polynomen wird mit der Exponentialfunktion \(\textrm{e}^{x}\) und den komplexen Zahlen aus dem dem letzten Beitrag deutlich. Die Gleichung \[ \textrm{e}^{\textrm{i}x} = \cos x + \textrm{i}\sin x, \] mit der sich der Sinus und der Kosinus darstellen lassen, können auch anders herum genutzt werden: Die Funktionen Sinus und Kosinus lassen sich als Summe von Exponentialfunktionen darstellen. Dazu nutzen wir die Eigenschaft, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist, denn es gilt \(\cos(x) = \cos(-x)\) für jede relle Zahl \(x\in\mathbb R\) und der Kosinus besitzt die \(y\)-Achse als Spiegelachse, was genau eine gerade Funktion ausmacht. Analog ist der Sinus eine ungerade Funktion, denn er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, formell bedeutet dies, dass \(\sin(x) = -\sin(-x)\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt. Dazu betrachtet man die Summe der beiden Funktionen \(\textrm{e}^{\textrm{i}x}\) und \(\textrm{e}^{-\textrm{i}x}\), die im Folgenden schon mit einem Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) dastehen, damit das gewünsche Ergebnis gleich dasteht. Die Umformungen entstehen lediglich durch Anwenden der Symmetrie-Eigenschaften \[\begin{align} \frac{\textrm{e}^{\textrm{i}x} + \textrm{e}^{-\textrm{i}x}}{2} &= \frac{\cos(x)+\textrm{i}\sin(x)+\cos(-x)+\textrm{i}\sin(-x)}{2} \\&=\frac{\cos(x)+\cos(x) + \textrm{i}\,(\sin(x)-\sin(x))}{2} \\&= \cos(x)\text{.} \end{align}\] Auf ähnlichem Wege erhält man für die Differenz der beiden Funktionen, wobei hier der Vorfaktor schon etwas trickreicher als \(\frac{1}{2i}\) gewählt ist, dass \[\begin{align} \frac{\textrm{e}^{\textrm{i}x} – \textrm{e}^{-\textrm{i}x}}{2\textrm{i}} &= \frac{\cos(x)+\textrm{i}\sin(x)-\cos(-x)-\textrm{i}\sin(-x)}{2\textrm{i}}\\ &=\frac{\cos(x)-\cos(x) + \textrm{i}(\sin(x)+\sin(x))}{2i} = \frac{2\sin(x)}{2} \\&= \sin(x)\text{.} \end{align} \] Durch Addition der beiden Gleichungen, bei der jede mit einem Vorfaktor versehen wird, lassen sich die beiden Funktionen \(b_1\sin(x)\) und \(a_1\cos(x)\) mit den beiden Funktionen \(\textrm{e}^{\textrm{i}x}\) und \(\textrm{e}^{-\textrm{i}x}\) darstellen, genauer \[ \begin{align*} a_1\cos(x) + b_1\sin(x) &= a_1\frac{\textrm{e}^{\textrm{i}x} + \textrm{e}^{-\textrm{i}x}}{2} + b_1\frac{\textrm{e}^{\textrm{i}x} – \textrm{e}^{-\textrm{i}x}}{2\textrm{i}}\\ &= a_1\frac{\textrm{e}^{\textrm{i}x}}{2} + a_1\frac{\textrm{e}^{-\textrm{i}x}}{2} + b_1\frac{\textrm{e}^{\textrm{i}x}}{2} – b_1\frac{\textrm{e}^{-\textrm{i}x}}{2\textrm{i}}\\ &= \frac{a_1-\textrm{i}b_1}{2}\textrm{e}^{\textrm{i}x} + \frac{a_1+ib_1}{2}\textrm{e}^{-\textrm{i}x}\text{.}\\ \end{align*} \] Genau das Gleiche gilt auch für die Summe angeben von Sinus und Kosinus, wenn die Frequenz erhöht wird, und dann wie in den vorigen Beiträgen die Vorfaktoren die Frequenz im Index stehen haben \[ a_j\cos(jx)+b_j\sin(jx) = \frac{a_j-\textrm{i}b_j}{2}\textrm{e}^{\textrm{i}jx} + \frac{a_j+ib_j}{2}\textrm{e}^{-\textrm{i}jx} \text{,} \quad j=1,2,\ldots \text{.} \] Für den Sonderfall \(j=0\) ist wieder \(\sin(0\cdot x\) die Nullfunktion und \(\cos(0\cdot x) = 1\), so dass gilt \(\frac{a_0}{2}\cos(0) = \frac{a_0}{2}\cdot\frac{\textrm{e}^{\textrm{i}0}+\textrm{e}^{-\textrm{i}0}}{2} = \frac{a_0}{2}\textrm{e}^{\textrm{i}0} = \frac{a_0}{2} \). Der Term \(\frac{a_0}{2}\) ist also der Vorfaktor vor \(\text{e}^{i0} = 1\), welches auch wieder die Konstante Funktion ist. Zusammenfassend lassen sich die trigonometrischen Polynome \(\mathcal T’_n\) anstelle mit den Funktionen \[ 1,\ \cos(x),\ \sin(x),\ \cos(2x),\ \sin(2x),\ \ldots,\ \cos(nx),\ \sin(nx) \] auch mit den Funktionen \[ \textrm{e}^0=1 ,\ \textrm{e}^{\textrm{i}x},\ \textrm{e}^{-\textrm{i}x} ,\ \textrm{e}^{\textrm{i}2x},\ \textrm{e}^{-\textrm{i}2x} ,\ldots, \textrm{e}^{\textrm{i}nx},\ \textrm{e}^{-\textrm{i}nx} \] schreiben. Mit den Koeffizienten \(c_{-n},c_{-n+1},\ldots,c_{-1},c_0,c_1,\ldots,c_{n-1},c_{n}\), die bereits oben stehen, also gegeben sind durch \[ c_k = \frac{a_k-\textrm{i}b_k}{2}\quad\text{ und }\quad c_{-k} = \frac{a_k+\textrm{i}b_k}{2},\qquad k=1,\ldots,n, \] und \[c_0 = \frac{a_0}{2}\] gilt, dass ein trigonometrisches Polynom vom Grad höchstens \(n\) in zwei Formen geschrieben werden kann: \[ \begin{align*} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^n a_j \cos(jx) + \sum_{j=1}^n b_j \sin(jx)\\ &= \frac{a_0}{2} + a_1\cos(x) + b_1\sin(x) + a_2\cos(2x) + b_2\sin(2x)+\cdots+a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\\ &= \sum_{k=-n}^n c_k\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\\ &= c_{-n}\textrm{e}^{-\textrm{i}nx} + c_{-n+1}\textrm{e}^{-\textrm{i}(n-1)x}+ \cdots+ c_{-1}\textrm{e}^{-ix}+ c_0\textrm{e}^0 + c_1\textrm{e}^{ix} + \cdots + c_{n-1}\textrm{e}^{\textrm{i}(n-1)x}+c_{n}e^{\textrm{i}nx} \end{align*} \] Dabei ist insbesondere hervorzuheben, dass die Indizes \(a_0,a_j,b_j\) mit natürlichen Zahlen \(j\in\mathbb N\) und die \(c_k, k\in\mathbb Z\) mit ganzen Zahlen durchlaufen werden. Außerdem ist nach der Definition von \(\mathcal T’_n\) jeder Wert der \(a_0,a_j,b_j\) eine reelle Zahl. Anders gesagt, kommt für jedes \(x\), dass wir in die Funktion \(f(x)\) einsetzen eine reelle Zahl heraus. Auf diesem Wege erhalten wir aus den Koeffizienten \(a_0,a_j,b_j\) eindeutig die Koeffizienten \(c_k\). Diese sind jedoch nicht unbedingt reellwertig, sondern bereits dann komplexe Zahlen, falls eines der \(b_j\) von \(0\) verschieden ist. Der Zusammenhang zu den Polynomen wird deutlich, wenn man die Potenzgesetze anwendet und die Summe der Exponentialfunktionen etwas anders schreibt, nämlich \[ \sum_{k=-n}^n c_k\textrm{e}^{\textrm{i}kx} = \sum_{k=-n}^n c_k\bigl(\textrm{e}^{\textrm{i}x}\bigr)^k\text{.} \] Mit der Darstellung der komplexen Zahlen in Polarkoordinaten, also \( z = r\textrm{e}^{\textrm{i}\varphi} \) ist die letzte Formel ein etwas allgemeineres Polynom, nämlich eines in Komplexen Zahlen \(z \in \mathbb C \) statt der rellen Zahl \(x\in\mathbb R \) aus der ersten Formel, das auf dem Einheitskreis (\(r=1\)) ausgewertet wird. Vorteil der Darstellung mit den Exponentialfunktionen \(\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\) zeigt nicht nur die Nähe zu Polynomen, es sind mehr Funktionen in dieser Darstellung möglich: Mit oben genannten \(c_k\) ergeben sich aus den \(a_0,a_j,b_j\) bestimmte Polynome. Allgemeiner können hier beliebige komplexwertige Koeffizienten \(c_k\in\mathbb C\) verwendet werden, auch solche, die sich nicht direkt aus reellen Koeffizienten \(a_0,a_j,b_j\) ergeben. Deswegen ist die Menge der trigonometrischen Polynome vom Grad \(n\in\mathbb N\) größer, als die Menge \(\mathcal T’_N\) aus Teil III, wo die Koeffizienten auf reelle Zahlen beschränkt waren. Es bezeichne \[ \mathcal T_n := \Bigl\{f\,;\,f(x) = \sum_{k=-n}^{n} c_k \textrm{e}^{\textrm{i}kx},\quad c_k\in\mathbb C, k\in\{-n,-n+1,\ldots,n-1,n\}\Bigr\} \] die Menge der trigonometrischen Polynome vom Grad \(n\). Die Koeffizienten \(c_k\) heißen (komplexe) Fourier-Koeffizienten. Für eine feste Funktion f schreibt man zur Verdeutlichung auch \(c_k(f)\) für die Fourier-Koeffizienten von \(f\). Die Formeln zur Berechnung der \(c_k\) lassen sich auch umkehren. Es gilt für ein echt positives \(j>0\) \[ c_j+c_{-j} = \frac{1}{2}\bigl(a_j-\textrm{i}b_j + a_j + \textrm{i}b_j\bigr) = \frac{2a_j}{2} = a_j, \] \[ \textrm{i}(c_j-c_{-j}) = \textrm{i}\frac{1}{2}\bigl(a_j-\textrm{i}b_j – a_j – \textrm{i}b_j\bigr) = \textrm{i}\frac{-2\textrm{i}b_j}{2} = -\textrm{i}^2b_j = b_j \] und natürlich auf gleichem Wege \(a_0 = 2c_0\). Sind hier jedoch die gegebenen Koeffizienten \(c_j,c_{-j}\) beliebig aber fest gewählt, so muss weder \(a_j\) noch \(b_j\) reellwertig sein. Der genaue Zusammenhang wird später in den Rechenregeln auftauchen. Sind die Koeffizienten \(a_0, a_j, b_j\) reell, so nimmt natürlich auch die Funktion nur reelle Werte an. Mit den Umformungen aus diesem Beitrag lässt sich die Menge der trigonometrischen Polynome \(\mathcal T\) auch schreiben als \[\mathcal T_n = \Bigl\{f\,;\, f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^n a_j \cos(jx) + \sum_{j=1}^n b_j \sin(jx),\quad a_0,a_j,b_j\in\mathbb C,\ j=1,\ldots,n \Bigr\}, \quad n\in \mathbb N\text{.} \] Wenn jedoch sichergestellt sein soll, dass für alle \(x\in\mathbb R\) das trigonometrische Polynom \(f(x)\) reelle Werte ergibt, also eine reellwertige Funktion ist, so muss \(f\) aus der bereits in Teil III behandelten Menge \(\mathcal T’_n\) an Funktionen stammen. Da hier für die Koeffizienten alle komplexen Zahlen erlaubt sind, ergeben sich alle Funktionen aus \(\mathcal T’_n\) als Spezialfall. Die Menge \(\mathcal T_n\) erweitert also die Möglichkeiten oder anders herum gesagt, die Menge \(\mathcal T’_n\) ist in \(\mathcal T_n\) enthalten. Die Kurzschreibweise für diese Teilmengenbeziehung ist \(\mathcal T’_n \subset \mathcal T_n\). Eine solche komplexwertige Funktion \(f\) lässt sich nicht mehr so schön zeichnen. Trotzdem sind diese Funktionen von Bedeutung, insbesondere werden im Folgenden jedoch die Fourier-Koeffizienten \(c_k\) häufig komplexwertig sein, was selbst für trigonometrische Polynome aus \(\mathcal T’_n\) oft vorkommt. Die Fourier-Koeffizienten \(a_0(f),\ a_j(f),\ b_j(f) \) einer reellen Funktion \(f\in\mathcal T’_n\) heißen reelle Fourier-Koeffizienten von \(f\).

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