~ IX: Rechnen mit Fourier-Koeffizienten II

Im letzten Beitrag wurden Rechenregeln für die Fourier-Koeffizienten besprochen. Heute werden zwei weitere Rechenregeln vorkommen. Zum Einen lassen sich für die Ableitung einer Funktion meistens die Fourier-Koeffizienten angeben. Die Herleitung der Formel benötigt einen etwas längeren Weg, es entsteht am Ende aber eine sehr nette Formel für deren Fourier-Koeffizienten. Zum Anderen sind die Fourier-Koeffizienten der Faltung zweier Funktionen Thema dieses Eintrags. Deren Form ist, wieder trotz einer etwas trickreichen Herleitung, sehr schön. Die Faltung selbst erzeugt aus zwei Funktionen eine neue Funktion und das auf etwas kniffelige Weise, die sich jedoch bildlich sehr gut darstellen lässt.

Differentiation

Wie im vorigen Beitrag seien die Fourier-Koeffizienten einer Funktion \(f\) bekannt. Für die Fourier-Koeffizienten der Funktion \(g(x) = f'(x)\) gilt dann mit partieller Integration \[ c_k(f’) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x = \frac{1}{2\pi} f(x) \text{e}^{-\text{i}kx}\biggl|_{-\pi}^{\pi} – \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) (-\text{i}k)\text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x \] Im Gegensatz zu den bisherigen Rechenregeln ist dabei eine weitere Einschränkung notwendig, nämlich, dass das erste Integral, also die Fourier-Koeffizienten von \(f’\) jeweils existieren, sonst lässt sich die partielle Integration nicht durchführen. Für die trigonometrischen Polynome ist dies natürlich stets gegeben, lediglich für die allgemeineren periodischen Funktionen ist diese Einschränkung wichtig.

Der erste Term ist \(0\), im zweiten lässt sich der Faktor \(-\text{i}k\) aus dem Integral herausziehen. Damit gilt \[ c_k(f’) = \text{i}kc_k(f),\quad k\in\mathbb Z.\] Dies bietet algorithmisch eine einfache Möglichkeit, die Ableitung eines trigonometrischen Polynoms zu berechnen, wenn deren Fourier-Koeffizienten (etwa am Computer als Folge von endlich vielen Zahlen) \(c_{-n}(f),…c_n(f)\)) gegeben sind. Multipliziert man jeden dieser Fourier Koeffizienten \(c_k(f)\) mit seinem Index \(k\) und der imaginären Einheit, so stellen diese die Fourier-Koeffizienten der Ableitung dar.

Faltung

Die Faltung zweier Funktionen \(f,g\) entsteht, indem die eine der Funktionen, hier \(g\), umgekehrt und verschoben wird, siehe Zeitumkehr und Translation, um sie dann mit \(f\) zu multiplizieren und damit die gemeinsame Fläche als Ergebnis zu nehmen. Der Parameter der neuen Funktion ist dabei die Translationsweite von \(g\). Als Bezeichnung ist dabei \(f\ast g\) üblich, so dass die neue Funktion \((f\ast g)(x)\) lautet. Formell ist die Faltung definiert als \begin{equation}\label{eq:Conv} (f\ast g) (x) := \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y)g(x-y) \text{d}y \end{equation} Diese ist kommutativ, \(f\) und \(g\) lassen sich in der Definition vertauschen, was man durch eine Substitution schnell sieht. Es gilt also \(f\ast g = g\ast f\). In der hier genutzten Form steckt die Zeitumkehr der Funktion \(g\) in dem \(-y\), die Translation in dem \(x\). Die folgende Abbildung 1 illustriert den Effekt der Faltung. Die bereits bekannte Plateau Funktion \(f_{Pl}\) wird mit sich selbst gefaltet, also \(f(x) = g(x) = g(-x) = f_{\text{Pl}}\). Genauer ist die Verschiebung \(g(x-y) = g(-(y-x))\) umgekehrt, d.h. positive Werte für \(x\) verschieben nach links, negative nach rechts. Bei dieser Faltung ist die Multiplikation der beiden verschobenen Plateau-Funktionen ein kleineres Plateau, das sich aus der Überlappung beider Funktionen \(f\) (hell) und \(g\) ergibt. Die Fläche ist farblich hervorgehoben. Ihr Flächeninhalt ist der Wert des Integrals aus \eqref{eq:Conv}. Das Ergebnis lässt sich mathematisch nachrechnen, man sieht im Bild aber auch direkt, dass \(f\ast g = f_{\text{Pl}}\ast f_{\text{Pl}} = \frac{1}{2}\cdot f_{\text{Hut}}\) ist.

Verschiebung \(g(x-y)\): \(x=\)0.25\(\pi\)
Die Faltung der Plateau-Funktion \(f=f_{\text{Pl}}\) (hell) mit sich selbst, also \(g=f_{\text{Pl}}\) (normal), die verschoben wird. Die Integration ergibt abhängig von der Verschiebung \(x\) den entsprechenden Flächeninhalt des gefüllten Rechtecks. Dieser Flächeninhalt ist der Funktionswert \(h(x) = (f\ast g)(x) = \frac{1}{2}\cdot f_{\text{Hut}}(x)\) (schwarz).

Sind die Fourier-Koeffizienten von \(f\) und \(g\) bekannt, so lassen sich auch für die Faltung \(f\ast g\) eine Formel der Fourier-Koeffizienten angeben. Sei \(k\) wieder eine fest gewählte ganze Zahl. Dann entsteht in dem Fourier-Koeffizienten zunächst ein doppeltes Integral \[ c_k(f\ast g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(y)g(x-y) \text{d}y\ \text{e}^{-\text{i}kx} \text{d}x. \] Der hintere Term kann natürlich in das innere Integral hineingezogen werden. Weiter lassen sich mit dem Satz von Fubini die Integrale vertauschen. Dies ergibt zusammen mit einer Addition der \(0=y-y\) im Exponenten \[ c_k(f\ast g) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(y)g(x-y) \text{e}^{-\text{i}ky}\text{e}^{-\text{i}k(x-y)} \text{d}x\ \text{d}y. \] Aus diesem inneren Integral über \(x\) lassen sich die beiden Terme, die nur \(y\) aber kein \(x\) enthalten, herausziehen \[ c_k(f\ast g) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y)\text{e}^{-\text{i}ky} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x-y) \text{e}^{-\text{i}k(x-y)} \text{d}x\ \text{d}y. \] Das innere Integral kann nun per Substitution \(z=x-y\), wieder mit dem Trick, dass es egal ist, welche Periode der Länge \(2\pi\) man für die Integration wählt, vereinfachen zu \[ c_k(f\ast g) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y)\text{e}^{-\text{i}ky} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(z) \text{e}^{-\text{i}kz} \text{d}z\ \text{d}y. \] Nun hat das Integral bezüglich \(z\) rein gar nichts mehr mit demjenigen über \(y\) zu tun und kann aus diesem herausgezogen werden. Die beiden einzelnen Integrale sind aber bereits bekannt, es folgt \[ c_k(f\ast g) = \Biggl( \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(y)\text{e}^{-\text{i}ky} \text{d}y \Biggr) \Biggl( \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(z) \text{e}^{-\text{i}kz} \text{d}z\Biggr) = c_k(f)c_k(g) \]

Bringt man diese Erkenntnis zurück auf das Beispiel aus Abbildung 1, so gilt mit dem Zusammenhang \(f_{\text{Hut}}(x) = 2(f_{\text{Pl}}\ast f_{\text{Pl}})(x)\) für die Fourier-Koeffizienten, wobei zusätzlich die Linearität genutzt wird, dass \[ c_k(f_{\text{Hut}}) = 2\cdot c_k(f_{\text{Pl}})\cdot c_k(f_{\text{Pl}}) = 2\Bigl(\frac{1}{2}\operatorname{sinc}\bigl(\frac{k}{2}\bigr)\Bigr)^2 = \frac{1}{2}\operatorname{sinc}^2\bigl(\frac{k}{2}\bigr), \] wie bereits bei den Fourier-Koeffizienten festgestellt. Der Vorteil ist hier, dass durch die bekannten Fourier-Koeffizienten \(c_k(f_{\text{Pl}})\), die Rechnung für die Fourier-Koeffizienten dank der Rechenregel für die Faltung, sehr viel kürzer ist.

Diese zu Beginn etwas sperrig daherkommende Faltung lässt sich also in Fourier-Koeffizienten sehr einfach ausrechnen, indem man die Fourier-Koeffizienten der beiden Funktionen miteinander multipliziert werden. Anwendung findet die Faltung in vielen Signal- oder Bildverarbeitungs-Szenarien. Für die Bildverarbeitung benötigt man natürlich die mehrdimensionale Formulierung, die in späteren Einträgen noch behandelt werden wird.

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