~ IV: Komplexe Zahlen und die Eulersche Formel

Leonard-Euler
Leonard Euler
(1707-1783)
Quelle: Wikimedia

Für die trigonometrischen Polynome sind die Funktionen Sinus und Kosinus die grundlegenden „Bausteine“. Deren Herleitung am Kreis ist sehr bildlich. Die Eulersche Formel, insbesondere die Eulersche Identität, lässt sich nicht so bildlich erklären, sie sind jedoch für viele folgende Betrachtungen sehr praktisch. Sie erschienen 1748 in dem Werk Introductio in analysin infinitorum von Leonard Euler (1707-1783), auf das unter Anderem der heutige Funktionsbegriff, sowie die Bezeichnungen \(\textrm{e} \) und \(\pi\) für die Eulersche Zahl und die Kreiszahl zurückgehen. Neben diesen ist auch die imaginäre Einheit \(\textrm{i}\) aus diesem Werk. Was diese ist und warum eine Zahl, die man sich nur vorstellt und die es gar nicht gibt, so wichtig ist, darum soll es in diesem Beitrag gehen

Bei der Wurzelfunktion \(\sqrt{x}\) ist eine Zahl gesucht, deren Produkt mit sich selbst die Zahl \(x\) ergibt, also eine Zahl \( y \), so dass \(y^2 = x\) gilt. Für einige Zahlen kann man diese Zahl \( y \) einfach angeben: So ist \(\sqrt{9} = 3\) oder \(\sqrt{1,21} = 0,11\). Für einige Zahlen lässt sich das Ergebnis nicht hinschreiben, aber es existiert; die Zahl \(\sqrt{2} \approx 1,41421\,35623\,73095\,04880\,16887\,24209\,69807\,85696\,7187537\) hat beispielsweise unendlich viele Nachkommastellen, sie lässt sich allerdings beliebig genau bestimmen. Da das Produkt einer Zahl mit sich selbst, also die Zahl \( y^2 \) für \(y \in \mathbb R \), stets positiv ist, kann für negative Zahlen \( x \) keine Wurzel angeben werden. Die Wurzelfunktion \(\sqrt{x}\) ist nur für nichtnegative Zahlen definiert.

Trotzdem lässt sich folgendes Gedankenexperiment durchführen: Mal angenommen es ist eine Zahl gesucht, welche „die Wurzel aus \(-1\)“An dieser Stelle muss man schon vorsichtig sein, die Wurzel aus \(-1\) gibt es natürlich nicht, die Wurzelfunktion \(\sqrt{x}\) ist lediglich für positive Zahlen definiert. , also eine Zahl, die \( y^2 = -1 \) erfüllt. Diese Zahl gibt es nicht, aber in Gedanken stellen lässt sie sich zumindest mal vorstellen: Sie wird daher imaginäre Zahl und mit \(\textrm{i}\) bezeichnet. Mathematisch exakt gesagt ist diese vorgestellte Zahl definiert, so dass sie die Gleichung \( \textrm{i}^2 = -1 \) erfüllt Manchmal findet sich auch die „Definition“ \(\textrm{i} = \sqrt{-1}\), die jedoch nicht korrekt ist, denn die Wurzel für negative Zahlen ist nicht definiert ist. Es ist auch nicht sinnvoll, dies als Definition zu verwenden. Rein rechentechnisch würde damit zunächst gelten \(i^2 = \sqrt{-1}^2 = -1\), aber die Definition führt mit den anderen Rechenregeln der Wurzelfunktion zu einem Widerspruch, denn mit diesen Regeln gilt \[ -1 = \textrm{i}^2 = \textrm{i}\cdot\textrm{i} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)\cdot(-1)} = \sqrt{1} = 1 \] und das ist eine falsche Aussage. Die Definition als Wurzel ist also vorsichtig gesagt nicht exakt genug, auch wenn sie in etwa sagt, was gemeint ist. . Damit kann nun die Gleichung \(y^2 = x \) für alle \(x\in\mathbb R\) gelöst werden und somit eine verallgemeinerte Methode des Wurzelziehens angeben werden: Für die nichtnegativen Werte, \(x\geq 0\), bleibt die Wurzelfunktion wie vorher auch zum Lösen, für die negativen Zahlen, also \(x<0\) schreiben wir \(x = (-1)(-x) = i^2(-x)\). Da \(x\) negativ ist, ist \(-x\) positiv und die Wurzel \(\sqrt{-x}\) ist definiert. Dann erfüllt aber \(y = i\sqrt{-x}\) die Gleichung \(y^2 = i^2 \sqrt{-x}^2 = (-1)(-x) = x\). Auch wenn es die imaginäre Zahl \(\textrm{i}\) nicht gibt, zum Lösen dieser Gleichung ist sie an dieser Stelle sehr praktisch.

Nun kann es danach in unseren Rechnungen vorkommen, dass eine „normale“, also reelle, Zahl mit einer Zahl addieren, die imaginär ist. Man erhält dann die Form \(z = a+b\textrm{i}\), wobei \(a,b\in\mathbb R\) reelle Zahlen sind. dabei heißt \(a\) Realteil und \(b\) (ohne das \(\textrm{i}\)) Imaginärteil von \(z\). All diese Zahlen \(z\) ergeben die Menge der komplexen Zahlen und erhalten – analog zur Menge \(\mathbb R\) den reellen Zahlen – die Mengenbezeichnung \(\mathbb C\) (vom englischen Wort complex. Um mit komplexen Zahlen zu Rechnen muss man lediglich stets beachten, womit dieses Gedankenexperiment begonnen hat, nämlich, dass \(\textrm{i}^2 = -1\) ist.

Zu den komplexen Zahlen ein Beispiel: Das Produkt zweier komplexwertiger Zahlen ist \[(a+b\textrm{i})(c+d\textrm{i}) = ac + ad\textrm{i} + cb\textrm{i} + bd\textrm{i}^2\textrm{.}\] Mit dem Wissen, dass \(\textrm{i}^2=-1\) ist, lautet der letzte Summand \(b\cdot d\cdot\textrm{i}^2 = -b\cdot d\). Durch Ausklammern ergibt sich \[(a+b\textrm{i})(c+d\textrm{i}) = (ac-bd) + (ad + cb)\textrm{i}{.}\]

Bildlich erweitern die komplexen Zahlen die Zahlengerade der reellen Zahlen um eine zweite, imaginäre Zahlengerade; im rechten Winkel zur Zahlengerade angelegt, erhält man die Gaußsche Zahlenebene. Diese enthält natürlich die Zahlengerade, also die rellen Zahlen \(a\in\mathbb R\), die sich eben genau ergeben, wenn der Imaginärteil \(b=0\) ist. In dieser Ebene von Zahlen kann nun auch wieder ein Kreis mit Radius \(r=1\) eingezeichnet werden, wie schon in der Abbildung 1 des ersten Teils. Allerdings ist jetzt die \(y\)-Achse mit der imaginären Einheit versehen. Also kann jeder Punkt auf diesem Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden als \(\cos(x) + \textrm{i}\sin(x)\). Es gibt jedoch eine noch schönere Form:

Die Eulersche Formel lautet für jeden Winkel, also für \( x\in\mathbb R\) \[ \textrm{e}^{\textrm{i}x} = \cos(x) + \textrm{i}\sin(x)\text{.}\] Die linke Seite heißt die Exponantialfunktion \(e^{z}, z\in\mathbb C\), wobei hier lediglich rein imaginäre Zahlen eingesetzt werden, also der Realteil \(a=0\) ist. Der Beweis dieser Gleichung läuft etwa über die Taylor-Reihenentwicklungen der linken Seite. Die Darstellung mittels Taylor-Entwicklung oder Taylor-Reihe führt hier zu weit, sie wird jedoch später noch aufgegriffen. Ebenso existieren Reihenentwicklungen des Kosinus und des Sinus, die dann die Gleichheit ergeben. Wichtig ist an dieser Formel, dass wir eine Umrechnung erhalten, die eine Funktion der Form \(\textrm{e}^{\textrm{i}x}\) in Kosinus und Sinus darstellt, wobei der Kosinus von \(x\) der Realteil und der Sinus von \(x\) der Imaginärteil ist. In der Gaußschen Zahlenebene liegt \(\cos(x)\) auf der reellen Achse, \(\textrm{i}\sin(x)\) auf der imaginären Achse (denn diese Zahl hat einen Realteil von \(a=0\)), die Summe der beiden ergibt exakt die Abbildung 1 aus Teil I, wenn man, wie bereits erwähnt, die Achsen mit Realteil (\(x\)-Achse) und Imaginärteil (\(y\)-Achse) bezeichnet.

Eine der wohl schönsten Formeln erhält man für den Winkel von \(180^\circ\), also \(x=\pi\), denn dort ist \[ \textrm{e}^{\textrm{i}\pi} = \cos(\pi) + \textrm{i}\sin(\pi) = -1\text{.} \] Diese Gleichung ist die Eulersche Identität.

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