~ III: Trigonometrische Polynome I

Die Funktion \(\sin (2x) \) aus der Betrachtung der Frequenz, siehe Abb. 2 im Teil I, ist, wie alle weiteren Stauchungen \(\sin(k\cdot x)\) um eine ganze Zahl \(k\in\mathbb Z\), eine \(2\pi\)-periodische Funktion. Die Verschiebung \(\sin(x-y)\) des Sinus um einen festen Wert \(y\) erhält nicht nur die \(2\pi\)-Periodizität, die Funktion lässt sich auch als gewichtete Summe der Funktionen \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) schreiben, wie in der Abb. I im Teil II illustriert. Mit den drei Manipulationen des Sinus, dem Erhöhen oder Verringern der Amplitude, dem Verschieben und dem Stauchen um einen ganzzahligen Faktor, lassen sich gewisse Funktionen „bauen“, indem man verschiedene Funktionen addiert. Eine Funktion, die aus all diesen verschobenen, gestauchten und in der Amplitude veränderten Versionen des Sinus entstanden ist, lässt sich natürlich umgekehrt wieder in genau diese Einzelteile zerlegen. Wie man das systematisch angeht, bleibt natürlich bisher noch eine offene Frage. Ob dieses Zerlegen allerdings auch allen Funktionen geht, wie Fourier behauptete, darum soll es noch nicht gehen. Aber für eine Teilmenge der \(2\pi\)-periodischen Funktionen lässt sich so eine Zerlegung bestimmen: Die trigonometrischen Polynome.

Im Folgenden sei \(n\in\mathbb N\) eine natürliche Zahl, mit der wir das Stauchen des Kosinus in der Form \(\cos(k\cdot x)\)\, \(k=0,1,\ldots,n\), einschränkenIst im Folgenden aus dem Kontext eindeutig zu sehen, dass mit \(kx\) die Multiplikation \(k\cdot x\) gemeint ist, so wird der \(\cdot\) weggelassen. Analog sei der Sinus gestaucht \(\sin(kx)\), \(k=1,\ldots,n\). Wieso ist nun der Kosinus für \(k=0\) enthalten, der Sinus jedoch nicht? Für den Kosinus gilt \(f_0(x) = \cos(0\cdot x) = \cos(0) = 1\). Diese Funktion \(f_0\) ist konstant \(1\) und mit einem Vorfaktor versehen – also so etwas wie der Änderung der Amplitude, die hier jedoch gar keine ist –, ergibt sich eine beliebige konstante Funkion. Für den Sinus ist \(\sin(0\cdot x) = 0\) und die Funktion, die konstant \(0\) ist, bleibt dies auch mit einem beliebigen Vorfaktor und ist somit unbedeutend in einer Summe von Funktionen. Die Null an jeder Stelle \(x\) zu addieren ändert auch nach mehrmaliger Addition die Summe selbst ja nicht. Das Ziel dieser Menge von Funktionen ist also, sie im folgenden zu gewichten und aufzusummieren: Für beliebige reelle Zahlen \(a_0, a_1, a_2,\ldots,a_n\) und \( b_1, b_2,…,b_n \) ist
\[\begin{align*}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^n a_j \cos(jx) + \sum_{j=1}^n b_j \sin(jx)\\
&= \frac{a_0}{2} + a_1\cos(x) + a_2\cos(2x) + \ldots a_n\cos(nx) + b_1\sin(x) + b_2\sin(2x) + \ldots + b_n\sin(nx)
\end{align*}\]
eine \(2\pi\)-periodische Funktion. Dass dabei der konstante Term nicht \(a_0\) sondern \(\frac{a_0}{2}\) heißt, ist lediglich eine Skalierung, die später nützlich ist; mit diesem Term kann aber trotzdem jede konstante Funktion erzeugt werden, indem man alle Werte \(a_j, b_j\) für \(j=1,\ldots,n\) auf 0 setzt und \(a_0\) auf den doppelten Wert der konstanten Funktion, die man erzeugen möchte. Für \(n=3\) entstehen also \(7\) wählbare Werte \(a_0,a_1,a_2,a_3,b_1,b_2\) und \(b_3\). Dies ist in Abbildung 1 illustriert.

Während die letzten Abbildungen stets das Intervall \([0,2\pi)\) zeigten, ist in dieser Abbildung das Intervall \([-\pi,\pi)\) gezeigt. Für \(2\pi\)-periodische Funktionen kann zur Darstellung ein beliebiges Intervall der Länge \(2\pi\) verwendet werden, es zeigt dann stets die gesamte Funktion, denn davor und danach wiederholt sie sich: Die Funktion ist auf dem Intervall \([-\pi,0]\) identisch zu sich selbst auf dem Intervall \([\pi,2\pi]\). Der Vorteil an dem Intervall symmetrisch zum Nullpunkt ist, dass man Symmetrien besser sehen kann. So ist jede Funktion, die lediglich aus Kosinus-Termen besteht gerade, d.h. die Funktion ist an der \(y\)-Achse gespiegelt. Jede Funktion, die lediglich aus Sinus-Termen besteht, ist ungerade. Dies wird auf dem Intervall \([-\pi,\pi)\) deutlich daran, dass eine Punktsymmetrie vorliegt.

\(a_0\)1 \(a_1\)2 \(a_2\)2 \(a_3\)2 \(b_1\)0 \(b_2\)0 \(b_3\)0 Beispiele
Trigonometrische Polynome mit Koeffizienten \(a_0,a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in [-2,2]\)

Alle Funktionen, die sich für ein festes \(n\in\mathbb N\) auf diese Weise erzeugen lassen seien in der folgenden Menge zusammengefasst
\[
\mathcal T’_n := \Bigl\{f\,;\; f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{j=1}^n a_j \cos(jx) + \sum_{j=1}^n b_j \sin(jx),\quad a_0,a_j,b_j\in\mathbb R,\ j=1,\ldots,n \Bigr\}, \quad n\in \mathbb N\text{.}
\]
In Worten ist \(\mathcal T’_n \) die Menge all derjenigen Funktionen \(f\), die sich in dieser Summenform schreiben lassen, wobei die Koeffizienten \(a_0,a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\) reelle Zahlen sind. Diese Menge \(\mathcal T’_n\) heißt Menge der trigonometrischen Polynome vom Grad höchstens \(n\). Insbesondere ist das \(;\) in der Menge zu lesen als „Eine Funktion \(f\), so dass \(f\) die Gestalt hat, dass…“. Ist für ein \(f\in\mathcal T’_n\) wenigstens einer der beiden Koeffizienten \(a_n,b_n\) nicht \(0\), so heißt \(f\) trigonometrisches Polynom vom Grad \(n\). Der Grad \(n\) eines trigonometrischen Polynoms bezeichnet also den größten Wert \(j\) für den noch einer der Koeffizienten \(a_j,b_j\) nicht \(0\) ist. Alle Koeffizienten mit einem Index, der größer als der Grad ist, sind \(0\). Da keine Einschränkung an \(a_n\) oder \(b_n\) in der Menge \(\mathcal T’_n\) der trigonometrischen Polynome gemacht worden ist, sind auch alle Polynome kleineren Grades enthalten.

Der Begriff „trigonometrisches Polynom“ erinnert sehr an die Polynome, wie etwa lineare Funktion oder quadratische Funktionen, wäre da nicht das Adjektiv „trigonometrisch“. Die hier eingeführte Darstellung ist anschaulich und macht die Herkunft dieser Funktionen aus den „Urgesteinen“ Sinus und Kosinus der \(2\pi\)-periodischen Funktionen deutlich. Für eine Darstellung, die den Namen rechtfertigt, ist jedoch erst ein kleiner Ausflug notwendig.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.