~ II: Translation

Die Idee von Joseph Fourier, gewisse Wellenfunktionen zu verwenden, um aus ihnen Funktionen „nachzubauen“, soll im Folgenden an einem ersten Konzept dargestellt werden. Um zu sehen, wie man sich verschiedene Funktionen als „Kiste an Bauklötze“, also mögliche Elemente zum Darstellen hernehmen kann, sei zunächst die Verschiebung betrachtet, die auch als Translation bezeichnet wird. Für ein einen beliebigen Wert \(y\in\mathbb R\) entsteht die Verschiebung einer Funktion \(f(x)\) durch die Funktion \[ g(x) = f(x-y),\quad x\in\mathbb R\text{.} \] Dem „Namen“ der Funktion \(g\) sieht man jedoch nicht mehr an, dass diese aus \(f\) durch Verschiebung entstanden ist. Also bezeichnen wir ein solches Translat besser mit \(T_{\!y\,}f\). Dabei ist der Ausdruck \(T_{\!y\,}f\) insgesamt als eine Funktion zu sehen, also definiert als \(T_{\!y\,}f(x) := f(x-y)\).Ein Gleichheitszeichen zusammen mit dem Doppelpunkt davor zeigt eine Definition an. Hier wird also \(T_{\!y\,}f(x)\) definiert als \(f(x-y)\) Im Detail ist dabei \(T_{\!y\,}f(0) = f(-y)\) und \(T_{\!y\,}f(y) = f(0)\). An dem zweiten Wert wird deutlich: Der Ursprung der Funktion \(f\) wird auf \(y\) verschoben, für ein positives \(y\) also auf der \(x\)-Achse nach rechts. Für die trigonometrischen Funktionen aus dem letzten Beitrag liefert die Verschiebung ein spannendes Phänomen: Die Funktion \(T_{\!y}\sin(x) = \sin(x-y)\) lässt sich mit den Additionstheoremen trigonometrischer Funktionen schreiben als \[ \sin(x-y) = \cos(y)\sin(x) – \sin(y)\cos(x)\text{,} \] also als Summe von Sinus und Kosinus. Dabei ist zu beachten, dass jeweils der erste Term ein fester Wert ist, denn die Verschiebung findet um einen festen Wert \(y\) statt; die Funktionen sind jeweils der zweite Faktor. Analog gilt für den Kosinus \[ \cos(x-y) = \cos(y)\cos(x) – \sin(y)\sin(x)\text{.} \] Die Grafik in Abbildung 1 stellt diese Zerlegung für \(T_{\!y}\sin(x)\) dar. Die schwarze Funktion \(\sin(x-y)\), dessen Verschiebung \(y\) einstellbar ist, lässt sich als Summe eines (nichtverschobenen) Sinus (in dunkelblau) und eines Kosinus (hellblau) darstellen.
Translation: \(y=\)0.666\(\pi\)
Abb. 1.Zerlegung des Translates \(T_{\!y}\sin\) in Sinus (dunkelblau) und Kosinus (hellblau).
Für die \(2\pi\)-periodischen Funktionen genügt es dabei, die Werte \(y\) auf dem Intervall \([0,2\pi)\) zu beschränkenHier bezeichnet \([a,b)\) das halboffene Intervall, in dem all diejenigen Zahlen enthalten sind, für die \(a\leq x\) und \( x \le b \) gilt. Das rechte Intervallende, \(b\), gehört also nicht mehr zum Intervall.. Dies lässt sich weiter fortführen. Für drei Sinus-Funktionen, die jeweils verschoben werden, schaut die Summe etwas länger aus, aber auch hier gilt\[\begin{aligned} \sin(x-y_1)&+\sin(x-y_2)+\sin(x-y_3)\\&= \bigl(\cos(y_1)+\cos(y_2)+\cos(y_3)\bigr)\sin(x) - \bigl(\sin(y_1)+\sin(y_2)+\sin(y_3)\bigr)\cos(x)\text{.} \end{aligned}\] Das gleiche gilt natürlich ebenso, wenn verschiedene Amplituden vorkommen. Beispielsweise ließe sich der Sinus \(\sin(x-y_1)\) auf die Amplitude \(A=2\) erhöhen. Dann lautet die Summe der drei Verschiebungen\[\begin{aligned} \sin(x-y_1)&+2\sin(x-y_2)+\sin(x-y_3)\\&= \bigl(\cos(y_1)+2\cos(y_2)+\cos(y_3)\bigr)\sin(x) - \bigl(\sin(y_1)+2\sin(y_2)+\sin(y_3)\bigr)\cos(x)\text{.} \end{aligned}\] Analog gilt das Gleiche für den Kosinus, auch dessen Translat lässt sich wieder als gewichtete Summe von Sinus und Kosinus schreiben.