~ I: Periodische Funktionen

Viele Phänomene in der Natur wiederholen sich in regelmäßigen Abständen: Der Ablauf eines Tages, Schwingungen und Töne, der elektrische Wechselstrom und viele mehr. Zur Betrachtung solcher Phänomene ordnet man jedem Zeitpunkt \(t\), wie „time“, einen Wert zu, etwa die Helligkeit, den Luftdruck oder die Spannung. In der Mathematik ist es üblicher, diesen Zeitpunkt allgemeiner mit \(x\) zu bezeichnen, genauer, einen kontinuierlichen Verlauf anzunehmen, also jeder reellen Zahl \(x\in\mathbb R\) einen Wert zuzuordnen. Diese für jeden Wert \(x\) eindeutige Zuordnung heißt Funktion \(f: \mathbb R \to\mathbb R\). Eine Funktion heißt periodisch mit Periode \(T\in\mathbb R\), falls \[ \forall x\in\mathbb R: f(x) = f(x+T)\text{,} \] also, dass sich für jeden (Zeit-)Punkt \(x\) der dazugehörige Wert eine Zeit (oder Strecke) \(T\) später wiederholtDie Formel entspricht einer Kurzschreibweise des erklärenden Satzes dahinter: Das „\(\forall\)“ bedeutet „für alle“ und bezieht sich auf die reellen Zahlen \(x\), wobei „\(\in\)“ das „Element-Zeichen“ ist, also bedeutet, dass \(x\) ein Element der Menge der reellen Zahlen, \(\mathbb R\), ist, also selbst eine reelle Zahl.. Für diesen Punkt \(x+T\) gilt dies aber auch, so dass sich der gleiche Wert auch bei \(x+2T\), \(x+3T\) wieder findet, aber auch andersherum, für \(x-T\) findet sich der gleiche Wert wie für \(x\) und so weiter.

Wichtigstes Beispiel sind die beiden trigonometrischen Funktionen, Sinus und Kosinus, die sich am den Einheitskreis als \(x\)-Achsenabschnitt (Kosinus) und \(y\)-Achsenabschnitt (Sinus) betrachten lassen, wie die Abbildung 1 verdeutlicht.

Winkel: 45 Grad bzw. 0.2500\(\pi\) Radiant
Der Sinus des Winkels am Ursprung findet sich als \(x\)-Achsenabschnitt des entsprechenden Punktes auf dem Einheitskreises wieder, der Kosinus als \(y\)-Achsenabschnitt.

Statt der üblichen Betrachtung des Winkels ins Grad ist es praktischer, im Folgenden den Winkel im Bogenmaß anzugeben: Der Einheitskreis besitzt einen Umfang von \(2\pi\), welches einer Umrundung, also \(360^\circ\) entspricht. So lassen sich als Anteil von \(2\pi\) alle Winkel angeben. Dabei wird deutlich, dass, wenn man einmal auf dem Kreis herumläuft, man erneut das gleiche paar an Werten erhält. Es gilt \[\forall x\in\mathbb R: \cos(x+2\pi) = \cos(x)\quad\text{ und }\quad \sin(x+2\pi) = \sin(x),
\] und beide Funktionen haben somit die Periode \(T=2\pi\).

Zwei weitere wichtige Begriffe sind Frequenz und Amplitude. Die Frequenz bezeichnet die Anzahl Wiederholungen einer periodischen Funktion in einer gewissen Zeit. Das Verstreichen einer gewissen Zeit umfasst das Intervall \([a,b]\), also eine gewisse Menge an ZeitpunktenDie Notation \([a,b]\) bezeichnet das geschlossene Intervall von \(a\) nach \(b\), also alle \(x\) für die \(a\leq x\) und \(x\leq b\) für zwei reelle Zahlen \(a,b\) gilt. Intervalle sind also lediglich sinnvoll, wenn \(a < b\) ist.. Die Funktion \(\cos(x)\) wiederholt sich auf dem Intervall \([0,2\pi]\) nicht, die tritt nur einmal auf und besitzt die Frequenz \(1\), ihre Amplitude, also höchste „Auslenkung“ ist \(1\). Die Funktion \(3\cos(2x)\) durchläuft für die Werte \(x\in[0,2\pi]\) im Argument, also den \(2x\) die Werte von \(0\) bis \(4\pi\) und somit zweimal die Schwingung des Kosinus. Die Funktion besitzt die Frequenz \(2\), die Amplitude ist 3, denn alle Funktionswerte werden mit 3 multipliziert, der Kosinus also auf der \(y\)-Achse skaliert. Während sich die Funktion \(\cos(2x)\) auf jeden Fall wiederholt, wenn man die Periode \(T=2\pi\) betrachtet, so wiederholt sie sich auch, wenn man sich \(T=\pi\), sie ist also \(\pi\)-periodisch, aber auch für allen Vielfachen \(2\pi, 3\pi,\ldots\) erfüllt sie die obige Definition der Periodizität.

Die folgende Grafik stellt die 3 Begriffe interaktiv dar.

Amplitude A: 1
Frequenz F: 1
Amplitude und Frequenz am Beispiel \(sin (x)\).

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