~ Einleitung

Dieser Blog widmet sich der Fourier-Analysis und einigen weiterführenden Ideen und Konzepten. Die Themen sollen dabei populärwissenschaftlich erklärt und mit interaktiven Grafiken erläutert werden.

Joseph Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Quelle: Wikimedia

Es ist über 200 Jahre her, dass Jean Baptiste Joseph Fourier in einer Abhandlung zur mathematischen Betrachtung der Wärmeausbreitung im Jahre 1807 die Zerlegung einer Funktion in eine Summe von bestimmten Funktionen verwendete. Er behauptete, jede periodische Funktion sei auf die von ihm vorgestellte Art zerlegbar. Damit lag er zwar falsch, legte aber mit seiner Arbeit „Analytische Theorie der Wärme“ (im Original „Théorie analytique de la chaleur“, 1822, deutsche Ausgabe 1884, siehe auch Fou22) den Grundstein zu der heute nach ihm benannten Fourier-Analysis. Sie hat in vielen Punkten die Mathematik, die Physik und später die Informatik geprägt.

Neben der einen Sichtweise, dass eine Funktion in eine Summe zerlegt werden und dann gewisse Anteile der Funktion zu betrachten werden können, also die Funktion zu analysieren, ist die Umgekehrte ebenso interessant: Welche Funktionen lassen sich mit den Summen dieser Funktionen erzeugen? Was passiert, wenn man die Summe auf eine unendliche Anzahl – oder anders, gesagt beliebig viele – ausweitet? Was lässt sich dann darstellen, also mit den Funktionen nachbauen? Bis in die 1960er Jahre war dabei nicht klar, grob gesagt, in welcher Form dieser Nachbau zu verstehen ist. Die dazugehörige Theorie, ausgehend von dem Ansatz von Fourier, führt tief hinein in Gebiete wie die Maß- und Integrationstheorie und in die Funktionenräume.

In der Anwendung findet sich jedoch mit der schnellen Fourier-Transformation einer der wichtigsten Algorithmen des vergangenen Jahrhunderts. Einige sehr verbreitete Dateiformate, wie etwa JPEG, MPEG und MP3, nutzen die schnellen Algorithmen der Fourier-Transformation, um die Dateigröße um ein Vielfaches zu reduzieren. Aber auch in Anwendungen wie der Magnetresonanztomographie ist die Fourier-Transformation ein wichtiges Werkzeug für die Rekonstruktion des Bildes aus den Messdaten.

Aufbauend auf der Fourier-Analysis lassen sich auch andere Zerlegungs- und Synthese-Systeme betrachten, insbesondere das Gebiet der Wavelets. Die klassischen Wavelets, die zu Beginn der 1990er Jahre entwickelt wurden, sind auf der reellen Achse – also für nichtperiodische Funktionen – definiert. Sie nutzen jedoch auch Techniken aus der Fourier-Analysis. Ausgehend von den periodischen Funktionen, mit denen Fourier begann, lassen sich allerdings auch Wavelets bilden. Da diese Wavelets dann selbst periodische Funktionen sind, heißen sie auch die periodischen Wavelets. Damit lassen sich in der Zerlegung einer Funktion andere Aspekte hervorheben, insbesondere einige Artefakte der sogenannten Fourier-Differentialrechnung vermeiden. Auch hier ist ein wesentlicher Punkt der Bekanntheit der Wavelets, deren schneller Algorithmus, die schnellen Wavelet-Transformation.

Neben der klassischen Fourier-Transformation, die hier zunächst im Vordergrund stehen soll, gibt es einige Verallgemeinerungen: Die kontinuierliche Fourier-Transformation findet sich häufig in der Signalverarbeitung und etwa bei den klassischen (nichtperiodischen) Wavelets, auf abelschen Gruppen lässt sich eine verallgemeinerte Variante der Fourier-Transformation definieren. Die Fourier-Transformation lässt sich jedoch auch von der bisher betrachteten Eindimensionalen ins Mehrdimensionale übertragen. Dabei wird vor allem die Berücksichtigung von Richtungen interessant, die dann für mehrdimensionale periodische Funktionen möglich ist. Diese kann etwa in der Verarbeitung von Bildern, Videos oder noch höherdimensionalen Daten verwendet werden. In den Vordergrund rückt dabei neben der Schnelligkeit der Algorithmen, die im letzten Absatz genannt worden ist, vor allem der Umgang mit sehr großem Datenvolumen, die effiziente Verarbeitung und Speicherung.

In den folgenden Beiträge sollen eine populärwissenschaftliche Einführung in diese Theorie der periodischen Funktionen und die Fourier-Analysis geben. Sie ist, wie ich finde, eine sehr schöne Theorie, die sich häufig mit Illustrationen ergänzen lässt. Das „Web 2.0“ bietet dabei zusätzlich die Möglichkeit, die Abbildungen sogar interaktiv zu gestalten. Zusammen mit einer mathematisch Notation werden dabei die Ideen und Konzepte allgemeinverständlich vorgestellt. Fachbegriffe sollen dabei erst nach ihrer Motivation definiert und verwendet werden. An Vorraussetzungen ist dazu lediglich Schulwissen notwendig, wie etwa die Integration und Differentiation einer Funktion \(f\).

Die Notation beruht auf der Vorlesung Analysis II an der Universität zu Lübeck von Jürgen Prestin – und somit auf der dort angegebenen Literatur, einigen Ansätzen von Prof. Brian Osgoods Vorlesung „The Fourier Transform an its Applications“ (iTunesU, Youtube), sowie dem Buch Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces von Elias M. Stein und Guido L. Weiß.

Bisherige Beiträge

  1. Periodische Funktionen
  2. Translation
  3. Trigonometrische Polynome I
  4. Komplexe Zahlen und die Eulersche Formel
  5. Trigonometrische Polynome II
  6. Die Fourier-Koeffizienten I
  7. Die Fourier-Koeffizienten II
  8. Rechnen mit Fourier-Koeffizienten I
  9. Rechnen mit Fourier-Koeffizienten II
  10. Das Gibbs-Phänomen
  11. Quadratur – Integrale im Computer
  12. Die diskrete Fourier-Transformation
  13. Die inverse diskrete Fourier-Transformation
  14. Die Laufzeit der diskreten Fourier-Transformation
  15. Die schnelle Fourier-Transformation
  16. The Harmonic Analyzer – ein manueller Wellenbaukasten

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Eine Antwort zu “~ Einleitung”

  1. Flasher sagt:

    Die Uhrzeit war doch ganz klar Absicht.

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