Wellenbaukasten

~ Einleitung

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~ I: Periodische Funktionen

Viele Phänomene in der Natur wiederholen sich in regelmäßigen Abständen: Der Ablauf eines Tages, Schwingungen und Töne, der elektrische Wechselstrom und viele mehr. Zur Betrachtung solcher Phänomene ordnet man jedem Zeitpunkt \(t\), wie „time“, einen Wert zu, etwa die Helligkeit, den Luftdruck oder die Spannung. In der Mathematik ist es üblicher, diesen Zeitpunkt allgemeiner mit […] »

~ II: Translation

Die Idee von Joseph Fourier, gewisse Wellenfunktionen zu verwenden, um aus ihnen Funktionen „nachzubauen“, soll im Folgenden an einem ersten Konzept dargestellt werden. Um zu sehen, wie man sich verschiedene Funktionen als „Kiste an Bauklötze“, also mögliche Elemente zum Darstellen hernehmen kann, sei zunächst die Verschiebung betrachtet, die auch als Translation bezeichnet wird. Für ein […] »

~ III: Trigonometrische Polynome I

Die Funktion \(\sin (2x) \) aus der Betrachtung der Frequenz, siehe Abb. 2 im Teil I, ist, wie alle weiteren Stauchungen \(\sin(k\cdot x)\) um eine ganze Zahl \(k\in\mathbb Z\), eine \(2\pi\)-periodische Funktion. Die Verschiebung \(\sin(x-y)\) des Sinus um einen festen Wert \(y\) erhält nicht nur die \(2\pi\)-Periodizität, die Funktion lässt sich auch als gewichtete Summe […] »

~ IV: Komplexe Zahlen und die Eulersche Formel

Leonard Euler(1707-1783)Quelle: Wikimedia Für die trigonometrischen Polynome sind die Funktionen Sinus und Kosinus die grundlegenden „Bausteine“. Deren Herleitung am Kreis ist sehr bildlich. Die Eulersche Formel, insbesondere die Eulersche Identität, lässt sich nicht so bildlich erklären, sie sind jedoch für viele folgende Betrachtungen sehr praktisch. Sie erschienen 1748 in dem Werk Introductio in analysin infinitorum […] »

~ V: Trigonometrische Polynome II

Die Darstellung aus Teil III gibt eine nette bildliche Vorstellung: Aus (um ganzzahlige Werte) gestauchte Versionen von Sinus und Kosinus, die über die \(a_j\) und \(b_j\) gewichtet werden, bauen sich die trigonometrischen Polynome auf. Mit den Gewichten oder Koeffizienten lassen sich auch verschobene Sinus- und Kosinuswellen bilden. Bisher haben die trigonometrischen Polynome aber wenig mit […] »

~ VI: Die Fourier-Koeffizienten I

Bisher dienten die Funktionen \(\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\) als Baukasten, um mit gegebenen – eventuell komplexen – Koeffizienten \(c_{-n},\ldots,c_{-1},c_0,c_1,\ldots,c_n\) eine Funktion \( f(x)\in\mathcal T_n\) zu erzeugen. Dies nennt sich auch (Fourier-)Synthese. Heute soll es um die entgegengesetzte Richtung gehen; das Ganze nähert sich der Behauptung von Joseph Fourier, der 1807 behauptete, jede periodische Funktion lasse sich in Sinus- […] »

~ VII: Die Fourier-Koeffizienten II

Die im letzten Im letzten Beitrag hergeleitete Formel zur Berechnung der Fourier-Koeffizienten lassen sich nach den anfänglichen Überlegungen für jedes trigonometrische Polynom anwenden. Dazu muss insbesondere für \(f\in\mathcal T_n\) auch der Wert für \(n\) bekannt sein. Nur dann können wir mit den Schritten aus dem letzten Beitrag darauf kommen, dass für ein \(k\in\{-n,\ldots,-1,0,1,\ldots,n\}\) gilt \[ […] »

~ VIII: Rechnen mit Fourier-Koeffizienten I

Bei einem trigonometrischen Polynom \(f(x)\in\mathcal T_n\) lassen sich die Fourier-Koeffizienten direkt ablesen: Der Faktor vor \(\textrm{e}^{\textrm{i}kx}\) ist der Fourier-Koeffizient \(c_k(f)\), für alle \(k=-n,-n+1,\ldots,n-1,n\) und direkt aus der Funktion ablesbar. Alle anderen Fourier-Koeffizienten \(c_k(f)\), für \(\lvert k\rvert > n\) sind \(0\). Zumindest lassen sie sich direkt ablesen, wenn die Funktion schon in der schon bekannten Summenform […] »

~ IX: Rechnen mit Fourier-Koeffizienten II

Im letzten Beitrag wurden Rechenregeln für die Fourier-Koeffizienten besprochen. Heute werden zwei weitere Rechenregeln vorkommen. Zum Einen lassen sich für die Ableitung einer Funktion meistens die Fourier-Koeffizienten angeben. Die Herleitung der Formel benötigt einen etwas längeren Weg, es entsteht am Ende aber eine sehr nette Formel für deren Fourier-Koeffizienten. Zum Anderen sind die Fourier-Koeffizienten der […] »